Équation différentielle de Bernoulli

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L'équation différentielle de Bernoulli est une équation différentielle du premier ordre de la forme :

y'(x) + a(x)y(x)= b(x)y(x)^m \; avec m différent de 0 et 1.

Où a,b:I \rightarrow \mathbb{R} et I est un intervalle ouvert. En général m est un entier naturel, mais on peut prendre m réel à condition de prendre y strictement positif. En général, a et b sont des fonctions continues.

Cette équation a été proposée à la résolution par Jacques Bernoulli en 1695 et résolue un an plus tard par Leibniz par changement de variable se ramenant à une équation différentielle linéaire. C'est la méthode encore employée aujourd'hui pour résoudre cette équation.

En supposant y strictement positif sur l'intervalle I, on peut diviser l'équation par ym(x) et on obtient

\frac{y'(x)}{y^m(x)} + a(x)\frac{1}{y^{m-1}} = b(x)

En posant

u(x) = \frac{1}{y^{m-1}(x)}

on obtient l'équation différentielle linéaire

\frac{1}{1-m}u'(x) + a(x)u(x) = b(x)

dont la solution générale est

u(x) = e^{-(1-m)\int a(t)dt)}\left(C + (1-m)\int b(t)e^{(1-m)\int a(s)ds}dt\right)

ce qui donne pour la fonction y = u^{1\over 1-m}

y(x) = e^{- \int a(t)dt)}\left(C + (1-m)\int b(t)e^{(1-m)\int a(s)ds}dt\right)^{1 \over 1-m}

Si la fonction y passe par le point (x_0,y_0)\; alors la solution de cette équation est :

y(x)= y_0 e^{-\int_{x_0}^{x} a(t)\, dt} \left(1+(1-m)y_0^{m-1} \int_{x_0}^{x} b(t)\left(e^{-\int_{x_0}^{t} a(s)\, ds}\right)^{m-1} \, dt\right)^{\frac{1}{1-m}}

Des solutions peuvent être cherchées dans des fonctions non nécessairement positives, mais alors de nombreuses précautions sont à prendre quant aux domaines de validité.

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