Équation d'Euler-Lagrange

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L’équation d'Euler-Lagrange est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels, tel que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange.

Enoncé — Soit J la fonctionnelle définie par, pour toute fonction x :

$J = \int_{t_0}^{t_1} f \left( t , x \left(t \right), \dot x\left(t\right) \right) \, \mathrm dt = \int_{t_0}^{t_1} f \left( t , x \left(t \right), \frac{\partial x\left(t\right)}{\partial t} \right) \, \mathrm dt$

Une condition nécessaire pour que J soit stationnaire est que l'on ait :

$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\mathrm d}{ \mathrm dt}\left( \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) = 0$ .

Démonstration

Il s'agit d'une très célèbre démonstration en mathématiques. Elle repose sur le lemme fondamental du calcul des variations.

Nous cherchons une fonction x rendant extrémale la fonctionnelle et satisfaisant les conditions aux bords :

$f\left(a\right) = c$ et
$f\left(b\right) = d$ .

On a ainsi :

$J = \int_{t_0}^{t_1} f\left(t,x\left(t\right),\dot x\left(t\right)\right) \, \mathrm dt$

Supposons que les dérivées premières de f soient continues.

Si x rend extrémale J, alors une perturbation infinitésimale de x préservera les conditions aux bords et augmentera J (si x est un minimum) ou diminuera J (si x est un maximum).

Soit $x_\epsilon\left(t\right)=x\left(t\right)+\epsilon\eta\left(t\right)$ une perturbation de x, où $\eta\left(t\right)$ est une fonction différentiable vérifiant $\eta\left(t_0\right)=\eta\left(t_1\right)=0$ . Définissons :

$J\left(\epsilon\right) = \int_{t_0}^{t_1} f\left(t,x_\epsilon\left(t\right), \dot x_\epsilon\left(t\right) \right) \, \mathrm dt$

Calculons alors la dérivée de J par rapport à $ε$ :

$\frac{\mathrm dJ}{\mathrm d \epsilon} = \int_{t_0}^{t_1} \frac{\mathrm df}{\mathrm d \epsilon} \left(t,x_\epsilon\left(t\right), \dot x_\epsilon\left(t\right) \right) \, \mathrm dt$

Le développement du calcul donne :

$\frac{\mathrm df}{\mathrm d\epsilon} = \frac{\partial f}{\partial t}\frac{\mathrm dt}{\mathrm d\epsilon} + \frac{\partial f}{\partial x_\epsilon}\frac{\mathrm dx_\epsilon}{\mathrm d\epsilon} + \frac{\partial f}{\partial \dot x_\epsilon}\frac{\mathrm d\dot x_\epsilon}{\mathrm d\epsilon} = \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x_\epsilon} + \dot\eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x_\epsilon}$

Donc :

$\frac{\mathrm dJ}{\mathrm d\epsilon} = \int_{t_0}^{t_1} \left( \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x_\epsilon} + \dot\eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x_\epsilon} \right) \, \mathrm dt$

Quand $ε = 0$ on a bien $x ε = x$ , ce qui donne $J'(0) = 0$ , soit encore :

$J'\left(0\right) = \int_{t_0}^{t_1}{\left( \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} + \dot \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x}\right) \, \mathrm dt} = \int_{t_0}^{t_1}{ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm dt} + \int_{t_0}^{t_1}{ \dot \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \, \mathrm dt}$

Par intégration par parties :

$0 = \int_{t_0}^{t_1} { \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm dt} + \left[ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} { \eta\left(t\right) \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x'} \, \mathrm dt} = \int_{t_0}^{t_1} {\left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x'} \right) \eta\left(t\right) \, \mathrm dt} + \left[ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1}$

Avec les conditions aux bords $η(t 0) = η(t 1) = 0$ , on a :

$0 = \int_{t_0}^{t_1} {\left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) \eta\left(t\right)\, \mathrm dt}$

En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations avec $η(t 0) = η(t 1) = 0$ , on obtient :

$0 = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x}$

[modifier] Variantes

Dans de nombreux problèmes, f ne dépend pas directement de t, (c'est-à-dire $\frac{\partial f}{\partial t}=0$ ) et l'équation précédente se simplifie sous la forme suivante, appelée identité de Beltrami :