Éléments d'analyse
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Les Eléments d'analyse sont une série de 9 volumes écrits par le mathématicien français Jean Dieudonné. À l'origine, seul le premier volume, Foundations of Modern Analysis, publié en 1960, était prévu. J. Dieudonné l'écrit suite à une série de cours dispensés à l'université du Michigan. Dans ce premier volume, l'auteur souhaite présenter les connaissances minimales en analyse que doit acquérir un étudiant en mathématiques ou en physique.
Plus tard, ce premier tome sera traduit en français sous le titre Fondements de l'Analyse moderne. Dieudonné y ajoutera 8 volumes supplémentaires écrits directement en français.
[modifier] Plan de l'ouvrage
[modifier] Tome I : Fondements de l'Analyse moderne
I - Éléments de la théorie des ensembles.
II - Nombres réels.
III - Espaces métriques.
IV - Propriétés particulières à la droite réelle.
V - Espaces normés.
VI - Espaces de Hilbert.
VII - Espaces de fonctions continues.
VIII - Calcul différentiel.
IX - Fonctions analytiques.
Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane.
X - Théorèmes d'existence.
XI - Théorie spectrale élémentaire.
Annexe - Éléments d'algèbre linéaire.
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
[modifier] Tome II
XII - Compléments de topologie et d'algèbre topologique.
1. Espaces topologiques. 2. Notions topologiques. 3. Espaces séparés. 4. Espaces uniformisables. 5. Produits d'espaces uniformisables. 6. Recouvrements localement finis et partitions de l'unité. 7. Fonctions semi-continues. 8. Groupes topologiques. 9. Groupes métrisables. 10. Espaces à opérateurs et espaces d'orbites. 11. Espaces homogènes. 12. Groupes quotients. 13. Espaces vectoriels topologiques. 14. Espaces localement convexes. 15. Topologies faibles. 16. Le théorème de Baire et ses conséquences.
XIII - Intégration.
1. Définition d'une mesure. 2. Mesures réelles. 3. Mesures positives. Valeur absolue d'une mesure. 4. Topologie vague. 5. Intégrales supérieure et inférieure par rapport à une mesure positive. 6. Fonctions et ensembles négligeables. Fonctions et ensembles intégrables. 7. Les théorèmes de convergence de Lebesgue. 8. Fonctions mesurables. 9. Intégrales de fonctions vectorielles. 10. Les espaces L1 et L². 11. Intégration par rapport à une mesure positive. 12. Le théorème de Lebesgue-Nikodym. 13. Applications : I. Intégration par rapport à une mesure complexe. 14. Applications : II. Dual de L1. 15. Décompositions canoniques d'une mesure. 16. Support d'une mesure. Mesures à support compact. 17. Mesures bornées. 18. Produit de mesures.
XIV - Intégration dans les groupes localement compacts.
1. Existence et unicité d'une mesure de Haar. 2. Cas particuliers et exemples. 3. Fonction module sur un groupe ; module d'un automorphisme. 4. Mesure de Haar sur un groupe quotient. 5. Convolution de mesures sur un groupe localement compact. 6. Exemples et cas particuliers de convolutions de mesures. 7. Propriétés algébriques de la convolution. 8. Convolution d'une mesure et d'une fonction. 9. Exemples de convolutions de mesures et de fonctions. 10. Convolution de deux fonctions. 11. Régularisation.
XV - Algèbres normées et théorie spectrale.
[modifier] Tome III
XVI -Variétés différentielles.
XVII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
I. Distributions et opérateurs différentiels.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
[modifier] Tome IV
XVIII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
II.Théorie globale élémentaire des équations différentielles du premier et du second ordre.
Théorie locale élémentaire des systèmes différentiels.
XIX - Groupe de Lie et algèbres de Lie.
XX - Connexions principales et géométrie riemannienne.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
[modifier] Tome V : Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples
XXI -Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
[modifier] Tome VI : Analyse harmonique
XXII - Analyse harmonique.
1. Fonctions continues de type positif. 2. Mesures de type positif. 3. Représentations induites. 4. Représentations induites et restrictions de représentations à des sous-groupes. 5. Traces partielles et représentations induites dans les groupes compacts. 6. Groupes de Gelfand et fonctions sphériques. 7. Transformation de Plancherel et transformation de Fourier. 8. Les espaces P(G) et P'(Z). 9. Fonctions sphériques de type positif et représentations irréductibles. 10. Analyse harmonique commutative et dualité de Pontrjagin. 11. Dual d'un sous-groupe et d'un groupe quotient. 12. Formule de Poisson. 13. Dual d'un produit. 14. Exemples de dualité. 15. Représentations unitaires continues des groupes commutatifs localement compacts. 16. Fonctions déclinantes sur Rn. 17. Distributions tempérées. 18. Convolution des distributions tempérées et théorème de Paley-Wiener. 19. Distributions périodiques et séries de Fourier. 20. Les espaces de Sobolev.
[modifier] Tome VII : Équations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels
[modifier] Tome VIII : Tome VIII, Equations fonctionnelles lilnéaires, Deuxième partie : problèmes aux limites
[modifier] Tome IX : Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire
XXIV -Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire. Table de résultats sur l'homologie d'espaces particuliers. Cohomologie et cohomologie à supports compacts d'une variété différentielle. - La formule d'homotopie. - Les suites de Mayer-Vietoris. - Cohomologie des sphères. - Le théorème de Künneth. - La dualité de Poincaré. - Cohomologie d'une sous-variété compacte. - Les théorèmes de Brouwer. - Degré d'une application. - Homologie des courants. - Homologie des courants sur une variété orientée. - Régularisation des courants. - L'anneau d'intersection. - La formule de Stokes. - Applications : I. Nombre de racines d'une équation. - Applications : II. Intersections de courbes algébriques sur une surface algébrique. - Homologie des courants cellulaires. - Subdivisions cellulaires et simpliciales. - Bords des courants simpliciaux. - Chaînes simpliciales formelles et homologie singulière. - Lemmes de subdivision. - Propriétés de l'homologie singulière. - Les théorèmes de de Rham : I. Courants associés à une subdivision simpliciale. - Les théorèmes de de Rham : II. Approximation d'un courant par les courants d'une subdivision simpliciale. - Les théorèmes de de Rham : III. Prolongement de p-formes. - Les théorèmes de de Rham : IV. Fin de la démonstration. - Structure des modules d'homologie. - Homologie des complexes simpliciaux euclidiens compacts. - La cohomologie singulière. - Structure des groupes de cohomologie. - L'anneau de cohomologie singulière. - Cohomologie singulière des complexes simpliciaux euclidiens compacts. - Cohomologie singulière d'une variété différentielle. - La cohomologie singulière à supports compacts. - Homologie et cohomologie singulière relatives. - Cohomologie relative et cohomologie à supports compacts. - Excision et suites de Mayer-Vietoris relatives. - Cohomologie des produits de variétés et des espaces fibrés. - Suite de Gysin et classe d'Euler. - Cohomologie des grassmanniennes. - Classes de Chern. - Propriétés des classes de Chern. - Classes de Pontrjagin. - Compléments sur les formes différentielles vectorielles et les connexions principales. - L'homomorphisme de Weil. - Courbure et classes caractéristiques. - Classes de Stiefel-Whitney. - La théorie de Hodge. - La formule d'Atiyah-Bott-Lefschetz. - Applications : I. La formule de Hopf pour les champs de vecteurs. - Applications : II. Formules de Bott pour les classes caractéristiques. - Cohomologie des groupes de Lie. - Éléments primitifs.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite). Produits infinis de modules. - Produits tensoriels de modules. - Suites exactes. - Cohomologie d'un module différentiel gradué. - Homologie et cohomologie d'un Z-module codifférentiel gradué libre. - Compléments sur les espaces vectoriels. - Le pfaffien.- Compléments sur les Z-modules de type fini.
