Virgule flottante

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Les nombres à virgule flottante sont les nombres les plus souvent utilisés dans un ordinateur pour représenter des valeurs non entières. Ce sont des approximations de nombres réels.

Les nombres à virgule flottante possèdent un signe s (dans {-1, 1}), une mantisse m (aussi appelée significande) et un exposant e. Un tel triplet représente un réel s.m.be où b est la base de représentation (généralement 2 sur ordinateur, mais aussi 16 sur certaines anciennes machines, 10 sur de nombreuses calculatrices, ou éventuellement toute autre valeur). En faisant varier e, on fait « flotter » la virgule décimale. Généralement, m est d'une taille fixée.

Ceci s'oppose à la représentation dite en virgule fixe, où l'exposant e est fixé.

Les différences de représentation interne et de comportement des nombres flottants d'un ordinateur à un autre obligeaient à reprendre finement les programmes de calcul scientifique pour les porter d'une machine à une autre jusqu'à ce qu'une norme soit proposée par l'IEEE.

Sommaire

[modifier] Mises en œuvre

[modifier] Norme IEEE 754

Icône de détail Article détaillé : IEEE 754.

La norme IEEE 754 (reprise par la norme internationale CEI 60559) spécifie deux formats de nombres en virgule flottante (et deux formats étendus optionnels) et les opérations associées. La quasi-totalité des Architectures d'ordinateurs actuelles, y compris IA32, PowerPC, et AMD64, incluent une implémentation matérielle des calculs sur flottants IEEE, directement dans le microprocesseur, garantissant une exécution rapide.

Les deux formats fixés par la norme IEEE 754 sont sur 32 bits (« simple précision ») et 64 bits (« double précision »). La répartition des bits est la suivante, où 1 ≤ M < 2 :

  Encodage Signe Exposant Mantisse Valeur d'un nombre
Simple précision 32 bits 1 bit 8 bits 23 bits (-1)^S \times M \times 2^{(E-127)}
Double précision 64 bits 1 bit 11 bits 52 bits (-1)^S \times M \times 2^{(E-1023)}

Le tableau ci-dessus indique les bits représentés. Le premier bit de la mantisse d'un nombre normalisé étant toujours 1, il n'est pas représenté dans ces deux formats : on parle de bit implicite. Pour ces deux formats, les précisions sont donc respectivement de 24 et de 53 bits.

[modifier] Flottants étendus

Certaines implémentations ajoutent un ou plusieurs types de précision supérieure (ainsi, IA32 a un type étendu sur 80 bits). La norme IEEE 754 prévoit des tailles minimales pour ces types étendus :

  Signe Exposant Mantisse
Simple précision étendue 1 bit 11 bits ou plus 32 bits ou plus
Double précision étendue 1 bit 15 bits ou plus 64 bits ou plus

Ces représentations « étendues » n'utilisent pas forcément le bit implicite de la mantisse.

Dans la pratique, seule la double précision étendue est encore utilisée, dans sa forme minimale (1+15+64 = 80 bits, le fameux type étendu de l'IA32).

Lorsque les flottants IEEE offrent une précision insuffisante, on peut devoir recourir à des calculs sur des flottants en précision supérieure. Citons notamment la bibliothèque MPFR.

[modifier] Précautions d'emploi

Les calculs en virgule flottante sont pratiques, mais présentent divers désagréments, notamment :

  • leur précision limitée, qui se traduit par des arrondis (dus aux opérations, mais aussi aux changements de base implicites, si la base est différente de 10) qui peuvent s'accumuler de façon gênante. Pour cette raison, les travaux de comptabilité ne sont pas effectués en virgule flottante, car tout doit tomber juste au centième près. En particulier, la soustraction de deux nombres très proches provoque une grande perte de précision relative : on parle de « cancellation ».
  • une plage d'exposants limitée, pouvant donner lieux à des « overflows » (lorsque le résultat d'une opération est plus grand que la plus grande valeur représentable) et à des « underflows » (lorsqu'un résultat est plus petit, en valeur absolue, que le plus petit flottant normalisé positif), puis à des résultats n'ayant plus aucun sens.

Il est par exemple tentant de réorganiser des expressions en virgule flottante comme on le ferait d'expressions mathématiques. Cela n'est cependant pas anodin, car les calculs en virgule flottante, contrairement aux calculs sur les réels, ne sont pas associatifs. Par exemple, dans un calcul en flottants IEEE double précision, (260+1)-260 ne donne pas 1, mais 0. La raison est que 260+1 n'est pas représentable exactement et est approché par 260.

Une valeur particulière du champ d'exposant est réservée à la représentation de valeurs spéciales :

  • NaN (« not a number »), qui sera par exemple le résultat de la tentative de division flottante de zéro par zéro, ou de la racine carrée d'un nombre strictement négatif. Les NaN se propagent : la plupart des opérations faisant intervenir un NaN donnent NaN (des exceptions sont possibles, comme NaN puissance 0, qui peut donner 1).
  • Un infini positif et un infini négatif, qui sont par exemple le résultat d'un « overflow » en arrondi au plus près.

Une autre valeur du champ d'exposant est réservée aux zéros (signés) et aux dénormalisés.

[modifier] Liens externes