Discuter:Polynôme

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Des petites démonstrations de certains résultats importants ne seraient pas de trop.


Il manque un paragraphe sur l'utilisation des polynômes en algèbre linéaire, et peut-être sur les propriétés des polynômes à coefficients réels et complexes.


Le paragraphe commençant par "On peut engendrer l'anneau A[X]..." est un peu confus.

Guéna

La division suivant les puissances décroissantes n'est pas traitée.Pduceux

elle est traitée dans le chapitre sur la divisibilité. Mais peut-être pas suffisamment mis en évidence. HB 7 décembre 2005 à 17:26 (CET)

D'une manière générale les polynômes sur un anneau sont insuffisamment exposés (intérêt: exemple: polynômes à coefficients matriciels). Ainsi la notion de fonction polynôme n'est pas aussi simple que cela puisque la non commutativité possible de l'anneau A oblige à définir des "valeurs à gauche et à droite" du polynôme pour une valeur de X.Pduceux

Oui, c'est bien possible. Attention à ne pas trop déborder sur la notion de fonction polynôme déplacé dans un autre article (pour alleger un peu celui-ci)HB 7 décembre 2005 à 17:26 (CET)

Il y a un problème sur la division selon les puissances croissantes. Contrairement à ce qui est dit, il n'existe pas un quotient et un reste dans tous les cas où Q est différent de 0 (Ainsi on ne peut sûrement pas "effectuer la division" de 1 par x3 à l'ordre 2 ...!)

J'effectue une correction rapide en ajoutant la condition suffisante Q(0) différent de 0, tout en envisageant d'autres modifications par la suite. Pduceux

Il était précisé dans l'ancienne version que le terme constant de Q devait être non nul. Ce qui assurait, il me semble, l'existence et l'unicité. Oups, tu as raison, condition mal placée. Cependant, la nouvelle formulation me parait effectivement plus claire et plus concise et plus juste. HB 7 décembre 2005 à 17:26 (CET)

gongle

je me propose de parler de l'utilisation des polynômes en algèbre linéaire. Je souhaite commencer par un paragraphe sur les polynômes de Lagrange (où le mettre ?). Voici un début :

Sommaire

[modifier] Polynômes de Lagrange

Un polynôme d'interpolation d'une fonction f aux points x_1, x_2,\dots ,x_p est un polynôme Pf tel que Pf(xk) = f(xk) pour tout k.

[modifier] Définition

Pour déterminer le polynôme d'interpolation on utilise des polynômes élémentaires : les polynômes de Lagranges définis par

L_k= \frac{X-x_i}{x_k-x_i}


Je ne connais pas beaucoup les symboles (cela ressemble à du TeX, que je connais) ; par exemple quel est l'analogue de sum pour le produit ?

Plus généralement y-a-t-il un moyen de traduire du TeX (plain TeX) ?

Je me réponds :

En lisant la doc prod devrait marcher

L_k= \prod_{i=1, i\ne k}^n\frac{X-x_i}{x_k-x_i}

IL me reste la question de la taille : dans le début les points séparés par des dots sont gros (trop) alors que les f(x) et P(x) sont (trop) petits.

Deux réponses :

la première concerne les polynômes de Lagrange qui on déjà droit à un article pour eux tout seul interpolation lagrangienne, ainsi que interpolation polynomiale donc je pense qu'un renvoi suffit. De plus, il me semble que les polynôme de Lagrange concernent davantage la fonction polynôme que le polynôme formel. Inutile de faire un doublon.
La seconde concerne le format Latex. Il est interprété de manière pas toujours judicieuse pour éviter de créer une image. Tu as donc le choix entre x_1, x_2,\dots ,x_p ou x_1, x_2,\dots ,x_p\,

Bonne continuation. HB 19 décembre 2005 à 21:49 (CET)

[modifier] Doublon avec équation polynômiale ?

N'y aurait-il pas de doublon avec la page sur l'équation polynômiale ? Et même si ce n'est pas le cas (je ne suis pas spécialiste), ne serait-il pas pertinent de lier les deux pages entre elles ? Je n'ai pas vu de lien pointant de l'une vers l'autre...

Bap (d) 14 décembre 2007 à 15:17 (CET)

[modifier] Variable et indéterminée

Bonjour, j'ai mis un peu systématiquement 'indéterminée' dans l'introduction, puisque l'article insiste beaucoup sur la différence entre fonction polynôme et polynôme formel . Par ailleurs, on ne peut pas ignorer dans l'intro l'existence de polynômes à plusieurs variables (c'est quand même la base de la géométrie algébrique), même si l'article vise seulement le cas d'une variable. J'ai aussi enlevé quelques phrases qu prêtaient à confusion dans la partie historique, car comme les réels et les complexes ne sont vraiment opératoires qu'au 19e siècle, la plupart des polynômes avant sont à coefficients entiers ou rationnels ou 'ce qu'ils peuvent'. Et bien sûr les polynômes à plusieurs variables ne sont pas une conséquence tardive du développement de l'algèbre abstraite. Cordialement, --Cgolds (d) 2 février 2008 à 20:32 (CET)

[modifier] introduction

L'article commençait: "En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, habituellement notées X, Y, Z…". Je trouve cela un peu raide pour une première introduction. Si on veut vraiment être bourbakiste, pourquoi pas dire "En mathématiques, un polynôme en un ensemble d'indéterminés I sur un anneau unitaire R est un élément de l'anneau de monoïde R[M], où M est le monoïde commutatif libre sur I" ? Cela serait plus explicite sur les coefficients admis, plus général (ensemble de variables quelconque), et plus correct (car il manquait "produits de" avant "puissances", que j'ai rajouté depuis). Mais sérieusement, ne serait-il pas une idée de faire un effort d'expliquer ce qui se cache derrière la terminologie ? Quelqu'un qui cherche à savoir ce que c'est un polynôme n'est pas forcément au courant de ce qu'est une combinaison linéaire (sur une famille infinie d'éléments), et même s'il le sait, il a le droit de se demander dans quel espace vectoriel on trouve donc ces puissances d'indéterminées dont on veut former une combinaison linéaire (la réponse "dans un anneau de polynômes" serait un peu circulaire, non ?). Oui, cela demande un vrai efort pour rester précis, mais je pense qu'un tel effort vaudrait bien le coup. Marc van Leeuwen (d) 13 mars 2008 à 10:23 (CET)