Discuter:Nombre premier

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Sommaire

[modifier] Période de 1/p

Soit un nombre premier p, et d, le nombre de chiffres de la période de 1/p.

Un petit calcul montre que d est toujours un diviseur de p-1. Cela n'est vrai que pour un nombre premier. On m'a dit que cela avait été démontré par Euler. Un mathématicien peut confirmer ?

cf. tableau "Les 25 premiers nombres premiers"

ex:

1/41 = 0.024390243902439024939 ... ; période = 02439 ; d = 5 ; (41-1)/5 = 8

1/13 = 0.076923076923076927... ; période = 076923 ; d= 6 ; (13-1)/6 = 2

Yann 20 jun 2003 ・19:10 (CEST)

A vue de nez, je dirais: d est toujours un diviseur de p-1 sûrement oui, Cela n'est vrai que pour un nombre premier probablement non, a confirmer. (Cf petit théorème de Fermat - le petit, pas le grand.) FvdP 23 jun 2003 ・19:07 (CEST)

Si (2) est faux ça devrait être faux avec p=561=55*11 (y'a pas de ickse sur ce **** clavier!) (1) est vrai car p divise 10^(p-1)-1 quand p est premier p<>2 p<>5 (voir petit thm de fermat). 561 devrait avoir la propriété aussi, pour la même raison, si je n'ai pas fait d'erreur stupide. FvdP 23 jun 2003 ・19:10 (CEST)


Si on prend l'inverse d'un entier, disons n>2, son écriture décimale est périodique, disons de période d; alors 10^d fois 1/n est de la forme un entier (dont les chiffres sont ceux qui forment une période du développement de 1/n), plus 1/n (on a simplement décalé la virgule d'une période vers la droite!), donc n divise 10^d-1.

Le coup de d | (n − 1) pour tout n... Je ne sais pas prouver que d | (p − 1) (et je n'ai pas envie d'y réfléchir), mais je pense que c'est plutôt φ(n) qui intervient... (l'indicatrice d'Euler).

Snark 23 jun 2003 ・20:32 (CEST)

Je n'ai pas la démonstration sous les yeux mais si pgcd(n, 10)=1 alors la période d divise phi(n), et en particulier si n est premier alors phi(n)=n-1 donc d divise n-1. donc vrai pour n premier n>5. Je pense que ce résultat on peut le mettre. (par contre la réciproque est fausse). Je n'ai pas réussi à trouver pour l'auteur (Euler ?) mais il paraît qu'il y a un livre assez complet de l'histoire de la théorie des nombres en anglais : Ore Colette 24 jun 2003 à 10:40 (CEST)

«La période de 1/p divise n» signifie que p divise (10^n)-1 (dans un sens au moins c'est pas compliqué: calculer 1/(10^n-1)). Il suffit donc que 10^n soit congru à 1 modulo p. Il s'agit donc connaitre l'ordre de 10 dans le groupe des inversibles modulo p (à partir de quelle puissance d a-t-on que 10^d vaut 1 modulo p?). On sait que cet ordre divise p-1 si p est premier et que 10 est non nul modulo p (c'est à dire que 10 est premier à p, autrement dit p différent de 2 et de 5). Il s'agit essentiellement du petit théorème de Fermat.

L'ordre de 10 peut être plus petit que p-1, auquel cas la période de 1/p sera strictement plus petite que p-1, si, par exemple, 10 est congru à un carré modulo p (par exemple 10=1 mod 3, et la période de 1/3 est 1, soit un peu moins que 3-1, 10=36 mod 13 et la période de 1/13 n'est pas 12, mais 6), ou plus généralement si 10 est dejà congru à une puissance l-ème modulo p, où l est un diviseur de p-1. Par exemple 10 est congru à la puissance 3me de 6 modulo 103 (216=10+2*103) et 3 divise (103-1), ce qui fait que la période de 1/103 va diviser 34=(103-1)/3; comme ce n'est pas 2 et que 10 n'est pas un carré modulo 103 (au pire: calculer 1^2,...,102^2 modulo 103), ce sera 34.

Plus généralement, pour p non premier, l'ordre d'un entier premier à p divise la caractéristique d'Euler de p (c'est à dire le nombre d'entiers compris entre 1 et p qui sont premier à p: pour 4, ça donne 2 (1 et 3), pour 9, c'est 6 (1,2,4,5,7,8), pour 12, c'est 4 (1,5,7,11). Si on veut que 1/n soit de période exactement d, il va falloir que d divise phi(n), mais aussi que 10 soit congru à une puissance (phi(n)/d)-ème modulo n.

Comme phi(n)=n-1 si et seulement si n est premier (d'après le petit théorème de Fermat pour faire vite), et est strictement plus petit sinon, n-1 ne divisera pas phi(n) dès que n n'est pas premier. Donc la période de 1/n ne sera exactement n-1 que si n est premier. Mais il se peut que cette période divise strictement n-1 lorsque n est premier (n=3, n=13, n=103 ci-dessus) mais aussi lorsque n n'est pas premier (voir ci-dessous).

Par exemple, pour n=9, prenons d=1: 10 vaut 1 modulo n, et c'est bien une puissance (phi(n)/d)-ème (celle de 1) modulo n. Dès lors la période de 1/9 est 1: en effet 1/9=0,1111... 1/99 est quant à lui de période 2, qui divise bien 98. Plus généralement 1/(10^k-1) est de période k, et k divise 10^k-2 si et seulement si 2 égale 10^k modulo k. c'est vrai pour k=1 (n=9), k=2 (n=99), mais aussi k=14 (n=99999999999999).

Rude Wolf 27 janvier 2007 à 07:22 (CET)

[modifier] Démonstration "d'Euclide"

>> Supposons que l'ensemble E de nombres premiers soit fini. <<

Comme on peut douter que la théorie des ensembles ait existé à son époque, la formulation de cette démonstration n'est pas celle d'Euclide. Et je suis certain que la sienne utilisait un langage autrement plus quotidien et plus clair, vu sa simplicité.

Quelqu'un pourrait-il la citer telle quelle ? 81.64.199.51 16 jun 2005 à 01:07 (CEST)

Effectivement :
i) Euclide énonce seulement que les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers. Ce qui signifie, selon notre vision moderne, que les nombres premiers sont une infinité
ii) Mais surtout, Euclide n'a pas tenu de raisonnement par l'absurde pour sa démonstration.
Je me propose donc de modifier légèrement l'article sur ce point. Theon 12 janvier 2006 à 18:02 (CET)

[modifier] Erreur ?

1111111111111111111/11 fait 101010101010101010, non ?

Absolument pas, celà fait à peu près : 101010101010101010,09090909090909

Je confirme. Si le nombre de 1 est impair alors la partie décimale est 090909... Si le nombre de 1 est pair alors la partie décimale est nulle.

[modifier] Lien externe mort

Bonjour,

Pendant plusieurs vérifications automatiques, un lien était indisponible. Merci de vérifier si il est bien indisponible et de le remplacer par une version archivée par Internet Archive si c'est le cas. Vous pouvez avoir plus d'informations sur la manière de faire ceci ici. Merci également de vérifier que d'autres liens de l'article ne sont pas morts. Les erreurs rapportées sont :

Eskimbot 23 janvier 2006 à 00:04 (CET)

Fait. Zubro 23 janvier 2006 à 12:24 (CET)

[modifier] Remise à jour

J'ai remis à jour la version du 24 mars 2006 avant les modifications verbeuses de 83.154.6.219. Si ce dernier estime ses propos du plus haut intérêt, je l'invite à créer un article ad hoc dans l'encyclopédie, mais à ne pas dénaturer l'article nombre premier qui est un article d'ordre mathématique. Theon 29 mars 2006 à 16:28 (CEST)

[modifier] Un autre polynome, à 10 variables ?

MathWorld mentionne l'existence d'un polynome, à 10 variables, présentant les mêmes caractéristiques que le polynôme à 26 variables bien connu présenté ici. Il serait mentionné dans l'ouvrage de Paulo Ribenboim Little Book of Big Primes. Je n'en trouve nulle autre trace par Google - si quelqu'un pouvait confirmer cette affirmation, une modification de l'article s'imposerait (de préférence, avec le polynôme en question ;).

Je confirme (Little Book of Big Primes, p.116, ou New Book of Prime Number Records, p.192). J'ai donc complété l'article.Theon 18 avril 2006 à 09:32 (CEST)

[modifier] Le curieux polynôme f(n) = n² − n + 41


Pourquoi ne pas mentionner que le discriminant de ce binôme est -163 ===[1-4*41]=== et renvoyer aux nombres de Bernouilli ?

Yves


Mais si on n'explique pas pourquoi ne n'est pas une coïncidence, ce n'est pas très intéressant :-) Pierre

Alors pourquoi ne pas donner une petite explication ? En plus j'apprendrai quelque chose...

Us.


[modifier] La curieuse suite f(n) = 2 + (2(n!) mod (n+1))

Bonjour, j'ai beaucoup de mal à croire que pour tout n de N, 2 + (2(n!) mod (n+1)) soit premier, et aussi que tous les nombres premiers puissent êter écrits de cette manière ...

Et pourtant ! Plus précisément, si n est premier, alors f(n-1) = n, et si n n'est pas premier, f(n-1) = 2. Ne mettez pas de limite arbitraire dans l'article si vous ne maitrisez pas la question : avez-vous vérifié le résultat de f(40) pour dire que 41 n'était jamais donné par cette fonction ? Gentil ♡ 19 octobre 2006 à 01:17 (CEST)
Formule bizarre : on fait un calcul dans Z/(n+1)Z, puis on ajoute à un élément de cet anneau un élément d'un autre anneau (aie!), puis on se retrouverait ensuite avec un entier ? Si celui qui a écrit ça pense vraiment que cela a un sens, ce serait bien de préciser quel il est.Salle 19 octobre 2006 à 15:37 (CEST)
Je cette formule très intéressante : c'est dommage de la supprimer comme tu l'as fait, Salle. La vraie question est : est-elle vraie ou fausse (i.e, il y a-t-il un f(n) non premier, ou un premier N qui ne correspond à aucun f(n)). Un simple contre-exemple suffit. Le sens mathématique est une autre question (intéressante aussi). Une référence vers un papier ou une démonstration serait nécessaire. --Jean-Christophe BENOIST 19 octobre 2006 à 15:58 (CEST)
Je lui reproche surtout de n'avoir pas de sens. Peut-être est-il possible de lui en donner un, mais j'ai l'impression, peut-être erronée, qu'on arrivera à la fin à un truc trivial. En attendant que l'auteur vienne expliquer ce qu'il voulait dire, je pense que la suppression comme mesure conservatoire de quelque chose qui en l'état ne veut rien dire, est raisonnable.Salle 19 octobre 2006 à 16:07 (CEST)
Tout de même, le fait d'être vrai ou faux prévaut le fait "d'avoir un sens", qui est un peu subjectif. Par exemple, je ne suis pas sur que "on fait un calcul dans Z/(n+1)Z". Pour moi, le calcul est fait dans Z, et on utilise la fonction "modulo" comme on utiliserait une autre fonction de Z => Z. D'ailleurs, le modulo ne s'applique que sur le second terme de la fonction, pas sur la fonction entière. Si le calcul était vraiment fait dans Z/(n+1)Z, on ne ferait pas apparaître le modulo, qui est implicite dans ce cas ! --Jean-Christophe BENOIST 19 octobre 2006 à 16:19 (CEST)
Sur le principe, je ne pense pas que quelque chose puisse être juste ou faux si ça n'a pas de sens. Sur le fond du problème qui nous occupe, je vois ce que tu veux dire : modulo n+1 est vu ici comme une fonction qui à un entier associe son reste compris entre 0 et n dans la division euclidienne par n+1. C'aurait été bien de le dire comme ça, mais, effectivement, vu comme ça, la définition de la fonction a un sens. On peut alors la définir comme suit : à un entier n, j'associe n+1 s'il est premier, et 2 sinon, puis dire que grâce à la formule de Wilson, le calcul de nombres premiers via cette fonction ne nécessite que des multiplications (n!) modulaires, et donc des divisions euclidiennes. On peut ensuite vérifier a posteriori si un nombre choisi au hasard est premier ou non. Mais, du fait de la factorielle, le calcul n'est pas vraiment effectif - probablement pas meilleur que le crible d'Eratosthène, que ce soit pour les tests de primalité, ou la génération de nombres premiers. Et des fonctions qui font ce genre de chose, en théorie, mais butent sur la complexité des calculs en pratique, il y en a des masses.
Alors effectivement, les mêmes questions se posent pour les autres fonctions données dans l'article (je ne connais pas la réponse, c'est pour ça que je ne fais rien). C'est bien gentil de donner plein de fonctions qui génèrent les nombres premiers, mais il faudrait à chaque fois dire, si cela permet des calculs effectifs, la complexité des calculs, et si cela échoue à des calculs effectifs, pourquoi la question de trouver de telles fonctions se pose. Typiquement, pour les formes polynômiales, ça a l'air d'être lié aux questions des méthodes de crible, ce qui est un sujet vaste et actif, donc je suis prêt à l'admettre. La formule donnant le n-ème nombre premier a un intérêt pour le postulat de Bertrand, je crois ; personnellement, je ne la graderais pas là. Quant à la fonction de Ruiz, je ne sais absolument pas à quoi ça peut se rattacher. Je supprimerais aussi, toujours dans l'optique qu'une fonction donnée sèchement sans dire à quelle classe de méthode et à quel domaine de recherche elle se rattache n'a pas grand intérêt.
Moralité, pour moi : une formule commentée, et mise en perspective très bien ; une formule sèche, c'est de la numérologie.Salle 19 octobre 2006 à 17:26 (CEST)
Je vois ce que tu veux dire, et je suis d'accord avec ta conclusion. Cela dit, même si une formule est peu efficace pour calculer les nombres premiers, elle peut être "intéressante", ne serait-ce que pour apprendre à se méfier (Delahaye fournit un certain nombre d'exemples de telles formules dans son livre, et c'est passionnant). J'ai recherché des références pour cette formule sur le Net, pour justement la commenter : rien trouvé. Rien non plus dans le livre de Delahaye. Est-ce que l'auteur originel peut donner une ou deux références ? --Jean-Christophe BENOIST 19 octobre 2006 à 22:02 (CEST)

Euh, pourquoi tant de discours sur une formule qui se demontre en deux lignes ? Ektoplastor, le 19 octobre 2006, 23:20 CEST.

Tout à fait. J'ai heureusement remis la formule. La démonstration est dans l'article Théorème de Wilson. Gentil ♡ 19 octobre 2006 à 23:37 (CEST)
ceci dit Salle avait raison de soulever quelques questions, sur l'opérateur mod, et sur le "sens" de la formule. De nombreuses personnes sont susceptibles de lire l'article "nombres premiers" en ayant très peu de bases de maths, il faut bien les éclairer sur le caractère magique ou non, exploitable ou non des formules, faire un peu de mise en perspective. Peps 20 octobre 2006 à 09:18 (CEST)

[modifier] Définition

"Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, n'admettant que deux entiers naturels diviseurs distincts : 1 et lui-même. "

Je me demande dans quelle mesure ces deux parties de la définition ne font pas redondance : si les deux diviseurs doivent être distincts, alors 1 est exclu de facto. Est-ce une manière d'écarter 0 ? Hautevienne87 17 février 2007 à 19:52 (CET)

Pertinente remarque. Après réflexion, je pense que le mot distincts est en trop. De plus la forme négative « n’admettant » est un peu bancal. Je propose la modification de la définition avec "Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, admettant que deux entiers naturels diviseurs : 1 et lui-même." Us

Il faut se rappeler que certains considèrent 1 comme nombre premier. Cela ferait l'objet d'une autre école de pensée. Pour réajuster les formules, "le modèle de la brebis de l'autre pâturage" élaboré par le mathématicien chercheur Lainé Jean Lhermite Junior pourrait vous être utile.

En 1994, il essaya d'exposer en 5 minutes ses formules relatives aux nombres premiers à la Faculté des Sciences de l'Université d'État d'Haïti... En 1994, une partie de son travail est envoyé en Europe .. En 1994, ils contactent le Rectorat de l'Université Quisqueya ... En 1994, l'USIS le félicite et souhaite que les recherches soient couronnées de Succès ... En 1996, utilise une partie de ses recherches comme devoir relatif à un module ayant trait à l'initiation aux investigations scientifiques ... En 2000, il soumet de nouveau ses travaux à la FDS, en particulier aux professeurs ... Ils étaient 4 à honorer la presentation de leur présence... En 2006, eurent lieu deux presentations, l'une aux Institutions CLÉ (16 juillet 2006), l'autre à la FDS, l'auditorium de la FDS était rempli comme le signale le Journaliste Thomas Lalime du Journal Le Matin ...

[modifier] - 1? -

Effectivement j'aimerais bien qu'on m'explique pourquoi 1 n'est pas prime. Il m' "apparait" bon premier, 1er premier... On dirait que la définition a l'arbitraire de lui en vouloir... Sérieusement, oui, pourquoi cette définition spécifiquement? En tous cas, il n'est pas composé. Éventuellement ca devrait peut-être être mentionné dans l'article. Merci. ... Vajrallan 27 mars 2007 à 17:24 (CEST) ...(-et qu'est-ce c'est que c'est toute cette histoire juste là-haut? à propos de Jr.)

[modifier] - 1? n'est pas Premier car...

Je pense que la définition est assez clair maintenant. Je cite : "Un nombre premier est un entier naturel, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même." C'est une définition, qui exclut 1. En effet, "admettant exactement deux diviseurs distincts" rend impossible d'admettre 1, car 1=1x1, donc les divisieurs ne sont pas distincts ! et donc 1 est un nombre composé (d'après la définition). Bon, voilà... Certes, si on veut inclure 1, il suffit de modifier légérement la définition, en retirant le mot "distincts". Mais tout ceci n'explique pas exactement pourquoi mathématiquement on exclut 1, mais seulement que la définition est assez précise pour l'exclure... La problématique vient de la dualité ambigüe pour 1, car il représente l'élément neutre pour la multiplication, propriété qu'il est le seul à partager, (donc il n'est pas partageur, et donc 1 n'a rien à faire dans Wikipédia, un ?). Plus sérieurement, c'est qu'un choix ! mais qui a l'avantage d'éviter d'inclure 1 dans pour la quasi-totalité des formules "donnant" ou "menant" aux nombres premiers, qui en général, ne le donnent pas.

Amicalement,--Us 27 mars 2007 à 18:11 (CEST)

1 n'est pas premier car sinon, il n'y aurait plus d'unicité de la décomposition en nombres premiers, vu qu'on pourrait ajouter autant de "fois 1" qu'on veut. Je pense que c'est uniquement pour des questions pratiques qu'on est arrangé pour que la définition le mette à part. Wku2m5rr 27 mars 2007 à 19:23 (CEST)


Il y a un autre problème avec 1 : d'une part on dit que tous les nombres non premiers sont composés et d'autres part on dit que tout nombre composé est un produit de nombres premiers; j'aimerais qu'on m'explique de quels nombres premiers 1 est le produit. pour moi 1 n'est ni premier ni composé ... auquel cas il est faux de dire que tout nombre qui n'est pas premier est composé. Dans tous les cas il faut reprendre la définition. De plus il est à mon avis obligatoire d'aborder le problème du 1 dans l'article : c'est totalement éludé et la définition est totalement artificielle (on voit bien qu'elle a été construite pour exclure 1 ... mais on ne dit pas pourquoi) --baldodo 17 janvier 2008

En fait, tout nombre, premier ou non, est produit de nombres premiers. Un nombre premier est produit avec un seul facteur. Un nombre composé supérieur à 1 est produit d'au moins deux facteurs. 1 est un produit vide de nombres premiers, au même titre que la factorielle de 0 est le produit vide de 0 facteurs successifs.Theon (d) 17 janvier 2008 à 07:52 (CET)

[modifier] Sens des algorithmes

Désolé, je ne suis pas du tout d'accord ! Une personne est intervenue pour inverser le sens de présentation des algorithmes de calculs pour les nombres premiers, en mettant la division avant le crible d'erathostène. IL requalifie également l'algorithme par division de naïf ! sauf que... le dévelopement auquel je mène le lecteur, n'est plus tout à fait naïf... contrairement au crible d'érathostène, qui lui est vraiment naïf ! puisqu'il demande aucune remarque pour l'exécuter ! De plus, l'inversion de la présentation remet en cause la limpidité de compréhension (je ne détaille pas plus, mais par exemple, j'utilisais en remarque dans l'algorithme de division la compréhension du crible d'érasthostène pour la généralisation de la multiplicité...). Qu'en pensez-vous ?

Pour ma part, je suis tenté de remettre les choses dans le même ordre qu'avant... (j'ai dû faire fort, pour arriver à faire comprendre si bien les choses, que la personne en question ait crût que cela était naïf...)

Je suis du même avis. Theon 1 avril 2007 à 19:54 (CEST)

[modifier] Liens que je n'arrive pas à apprécier

Que pensez-vous de ceci qui apparait dans l'article : (je cite) "Il y a une approche encore plus simple qui orne de nombreuses formules élaborées par le mathématicien Jean Lhermite Junior Lainé. Visiter:http://www.institutionscle.nombrespremiers.net Le lien pointe sur un site qui me semble assez douteux... --Us 17 juin 2007 à 23:54 (CEST)

Aucune idée, le lien ne marche pas chez moi en ce moment. J'ai enlevé, mais on va ptet avoir le droit à des plaintes. ^^ Daïn, the Dwarf causer ? 18 juin 2007 à 07:32 (CEST)

Le site en question n'apporte effectivement aucune garantie de sérieux et mélange des sujets de registre différents. DainDwarf a bien fait de supprimer le lien correspondant. Theon 18 juin 2007 à 07:59 (CEST)

[modifier] Le lien fonctionne et l'on est en route vers une méthode d'élaboration de formules relatives à la suite des nombres premiers!

Il s'agit d'un lien qui fait référence à plusieurs formules relatives à la suite des nombres premiers. Si l'on arrive à placer ces formules dans le cadre de plusieurs modèles élaborés par l'auteur, chacun pourra élaborer ses propres formules. Avec ce travail de vulgarisation, la synthèse est ainsi approchée de manière objective!

[1]

Merci de ne pas intervertir les propos. Désolé pour l'auteur du site qui veut mettre son site sur Wiki, mais la philosophie de wiki n'est pas de faire de la pub, mais d'apporter des sources d'informations compréhensible et vérifiable, et admis par tous. IL ne s'agit donc pas de mettre un travail de recherche ! aussi louable soit-il. De plus, on parle de math ici, et on notera que de citer en début du site en question : "Toute suite croissante infinie d’entiers naturels non nuls peut s’exprimer selon le modèle des boules rouges et des boules bleues et elle peut aussi s’exprimer selon le modèle des flèches de Jonathan." et "Quelques formules élaborées par Lainé Jean Lhermite Junior dans le cadre du modèle des flèches de Jonathan ( 1Samuel 20 verset 20)" ou "Les Institutions CLÉ : “ une porte ouverte sur le CHRIST” " ; ... Désolé, mais ce n'est pas des maths, Donc la suppression est donc justifiée. C'est limite une secte ce truc ! --Us 4 août 2007 à 09:11 (CEST)

Modifions autant que possible cet article en contribuant d'une manière que nos apports puissent être analysés et vérifiés par tous ! Voilà la philosophie de Wiki !

Parlons des mathématiques :

Voici deux formules qui conduisent à la suite des nombres premiers sans utiliser le théorème de Wilson mais son pendant ...

P_n = \sum_{i=1}^{1+n!}\left(\left\lfloor\frac {1+ \sum_{m=1}^{i}{\left( 1-\left\lfloor{\frac{\left\lfloor{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}\right\rfloor}{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}}\right\rfloor\right)}}{n+1}\right\rfloor\times{\left\lfloor\frac{n+1}{1+ \sum_{m=1}^{i}{\left( 1-\left\lfloor{\frac{\left\lfloor{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}\right\rfloor}{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}}\right\rfloor\right)}}\right\rfloor}\times{i}\times{\left({1-\left\lfloor{\frac{\left\lfloor(\frac{\left(i!\right)^2}{i^3}\right\rfloor}{\frac{\left(i!\right)^2}{i^3}}}\right\rfloor}\right)}\right)


P_n = \sum_{i=1}^{2^n}\left(\left\lfloor\frac {1+ \sum_{m=1}^{i}{\left( 1-\left\lfloor{\frac{\left\lfloor{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}\right\rfloor}{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}}\right\rfloor\right)}}{n+1}\right\rfloor\times{\left\lfloor\frac{n+1}{1+ \sum_{m=1}^{i}{\left( 1-\left\lfloor{\frac{\left\lfloor{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}\right\rfloor}{\frac{\left(m!\right)^2}{m^3}}}\right\rfloor\right)}}\right\rfloor}\times{i}\times{\left({1-\left\lfloor{\frac{\left\lfloor(\frac{\left(i!\right)^2}{i^3}\right\rfloor}{\frac{\left(i!\right)^2}{i^3}}}\right\rfloor}\right)}\right)

Les Wikipédiens sont invités à modifier autant que possible ces deux formules!

En fait, non, la philosophie de wiki ne se résume pas à ça. Notamment, ce qui est rapporté doit avoir été validé (tant du point de vue de la véracité, que de l'intérêt) auparavant par des experts, et il doit exister des sources fiables et disponibles pour s'en assurer. Il semble que ce point pêche ici, si ce n'est pas le cas, on remettra.Salle 17 août 2007 à 01:26 (CEST)
Au demeurant, je viens de regarder la formule. Est-ce qu'on y multiplie vraiment la partie entière d'un nombre par celle de son inverse ?Salle 17 août 2007 à 01:30 (CEST)
On peut également dire que si ces formules marchent, elles ne sont d'aucun intérêt autant du point de vue théorique que technique. En effet, dans l'article on présente déjà une formule qui repose sur le principe de la partie entière. Mais cette technique n'apporte aucun renseignement théorique sur les nb premiers. De plus, la formule de l'article a bien plus d'intérêt que celles proposées ici car le calcul est possible. Qu'alors n! ou 2n rend impossible le calcul pratique. Imaginer le nb d'opérations à effectuer juste pour n=100 ! Si l'auteur veut faire reconnaitre ses formules, qu'il s'adresse à une communauté de mathématicien au lieu de discuter de ces recherches sur Wiki. --Us 17 août 2007 à 22:49 (CEST)

Vous commencez ainsi à décoder ces formules. Un réel strictement positif et son inverse ont généralement le produit de leurs parties entières à être égal à zéro. L'exception survient seulement quand ce réel strictement positif est égal à 1. (J.L.J.L.)

[modifier] Liens mortibus ? Sourire

A commencer par les liens triviaux pour la rubrique "Liens externes" : http://www.nombres-premiers.fr/ http://fr.wikipedia.org/wiki/MacTutor

Est-ce que chez moi, mais je n'arrive pas à accédder certains liens cités : http://www.primepuzzles.net/ http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality_v6.pdf http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html --Us 28 juillet 2007 à 16:05 (CEST)

[modifier] Critique de la version du 17 juillet 2007

  • Dans la définition du nombre premier, il faudrait préciser que c'est l'acceptation actuelle, et sourcer la définition.
En réalité, le débat (si on peut dire) c'est de savoir si on accepte 1. OR, on trouve très peu de mathématiciens qui voulaient qu'on prennent 1 comme nb premier. En fait, l'acceptation actuelle a toujours était celle-ci !... faut-il vraiment surchargée la définition. Ensuite, sourcer la définition ?? IL suffit d'ouvrir n'importe quel livre parlant du sujet... de plus, comme l'origine remonte à la nuit des temps... ben, on ne pourra jamais dire qui a eut le premier l'idée de cette définition...--Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)
Hem, "depuis la nuit des temps" me semble exagéré. Disons qu'on peut préciser quel est le premier document écrit donnant la définition de nombres premiers. Je vais me renseigner. Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)
Hum... "depuis la nuit des temps" est bien sur une expression... Il me semble peu probable qu'on puisse retrouver l'origine exact, c'est ce que je voulais dire; par voie de conséquence, c'est impossible à sourcer...--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)
  • Première partie : il serait plus intéressant de donner des exemples de nombres premiers avec de nombreux chiffres, et de fusionner avec la partie 5.
Pas d'accord du tout. Pour moi, il est plus que légitime d'exposer les nb premiers par le début. Mets-toi à la place d'un débutant sur le sujet. Pour sa compréhension général du sujet, il faut bien que les choses restes au niveau de la base du raisonnement... De plus, si c'est un "gamin" qui lit l'article il pourra en rester là avec une petite explication pour les trouver. Mélanger et mettre tout de suite des grands nb premier, va devenir un vrai brouillon ! Certes, on m'aime bien l'adage : Pourquoi faire simple quand on on peut faire compliquer ?... mais c'est de l'humour -:); En fait tout dépend si on veut un article très spécialisé OU un article (comme actuellement) parlant de différents aspects avec une progression dans la lecture en renvoyant sur d'autres pages... --Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)
Troisième solution : l'écriture d'un article encyclopédique. Sourire Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)
Why not. Mais cela demande vraiment beaucoup d'effort... M'enfin si il y a des volontaires...--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)
  • Nombres composés : le théorème de factorisation s'appuie sur un raisonnement par récurrence. Il serait intéressant de dire que le raisonnement de récurrence a été exposé seulement durant le deuxième millénaire (la date précise est sujette à discussion entre les historiens).
Le paragraphe renvoie à l'article théorème fondamental de l'arithmétique qui détaille des démonstrations. Je ne vois pas trop l'intérêt de parler de récurrence ici. A la rigueur, on pourrait évoquer la décomposition des nombres en facteurs premiers comme exemple dans l'article Raisonnement par récurrence, bien que les raisonnements usuels ne s'appuient pas directement sur la récurrence mais plutôt sur la descente infinie de Fermat ou l'existence d'un minimum pour toute partie non vide d'entiers, qui, eux, découlent du principe de récurrence. Theon 17 juillet 2007 à 18:19 (CEST)
Dans une perspective axiomatique de l'arithmétique, le raisonnement par récurrence est équivalent au principe de descente infinie de Fermat ou à l'existence d'un minimum pour toute partie non vide d'entiers.
Dans la théorie des ensembles, l'ensemble des entiers naturels est construit pour vérifier le principe de récurrence et donc le principe de descente infinie de Fermat ou l'existence d'un minimum pour toute partie non vide d'entiers.
Donc, les trois principes étant équivalents, si tu peux appuyer une démonstration sur l'un des trois principes, tu peux aussi appuyer la démonstration sur l'autre principe. Au choix. (Je pensais à la démonstration de la factorisation de n par récurrence forte sur n, on peut en effet proposer une démonstration par l'absurde en utilisant la propriété du bon ordre, ou encore une démonstration directe en utilisant Fermat.) Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 19:36 (CEST)
  • Les propos sur l'os d'Ishango sont une interprétation discutable : il faut s'appuyer sur une source.
J'suis d'accord, c'est discutable... On peut néanmoins trouvé facilement qlq sources d'info, mais faut-il en dire plus ? c'est tellement marginal, qu'on pourrait supprimer cette référence, tout simplement, non ?--Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)
Non, c'est un point important : il ne faut pas négliger les aspects historiques. Mais toute référence historique doit être sourcée : je veux dire, selon tel mathématicien ou historien des mathématiques, on aurait ceci. Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)
Je revendique ma position. L'os d'Ishango est marginale. Personne ne peut affirmer que les traits gravés sur l'os représentent rééllement une connaissance des nombres premiers. Peut-on parler même de mathématique ! J'en doute fort. IL n'existera pas de référence de mathématicien (assurément) sur ce point... Et encore moins d'historien des mathématiques... Le N'os N'os devrait être redonnait à un chien pour qu'il se fasse les cros ! De mon point de vue, on est en présence des mêmes histoires à dormir debout, que ceux qui voient le nombre d'or partout dans la construction des pyramides... C'est marginal et très peu crédible, et en tous cas invérifiable ! A ceux qui veut y voir une connaissance des nb premiers, il faudrait déjà qu'il me prouve que celui qui à graver l'os, connaissait la multiplication ! c'est déjà le point de départ. Or, la connaissance de la multiplication n'est déjà pas prouvée... Si l'os représente un témoignage de l'éveil mathématique, comme on l'admet, on peut tout de même fortment douter de la connaissance des nb premiers...--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)
  • Il faut sourcer aussi les informations concernant les Eléments d'Euclide et en particulier l'information selon laquelle les résultats présentés lui sont antérieurs.
  • A proprement parler, Euclide n'a pas démontré l'infinité des nombres premiers. En effet, il a donné une méthode pour obtenir un nouveau nombre premier à partir d'une quantité donnée et finie de nombres premiers distincts (introduire un n formel est un contre-sens historique, les premières notations formelles sont dues à Diophante). Il a donc donné une méthode de construire une suite (par récurrence) de nombres premiers deux à deux distincts. Il manque une étape dans son raisonnement : appliquer le principe de récurrence pour affirmer que cette suite existe ! (Voir 4.2.3.)
Euclide ne peut parler d'infinité des nombres premiers, puisque la notion d'infini dans ce sens est rejetée jusqu'au XIXème. Il se borne à montrer que, si on se donne un nombre quelconque fini de nombres premiers, il en existe toujours un autre n'appartenant pas à cette famille. C'est exactement ce que dit l'article, qui donne ensuite l'interprétation moderne de l'infinité des nombres premiers. Affirmer que la démonstration d'Euclide est incomplète, c'est commettre un anachronisme. Theon 17 juillet 2007 à 18:19 (CEST)
La démonstration donnée dans l'article et attribuée à Euclide n'a pas été donnée par Euclide ! Pour commencer, Euclide démontre que trois nombres premiers distincts donnent un quatrième nombre premier. Il a conscience que la même preuve marche pour n'importe quelle quantité fixée de nombres premiers distincts. Le choix du mot quantité au lieu de n arbitraire est ici voulu, les notations formelles sont postérieures. Remplacer dans sa preuve 3 par une entier n arbitraire me semble être déjà un anachronisme en soi.
La démonstration de l'article n'est évidemment pas celle d'Euclide qui ignore les notations algébriques, mais la transposition algébrique moderne de la démonstration d'Euclide. Je ne pense pas qu'il faille donner la démonstration d'Euclide originale en grec ancien, quand même ? Theon 19 juillet 2007 à 16:30 (CEST)
Ah ? Dispose-t-on du texte original ? Je crois que non ; j'ai déjà entendu des historiens remettre en question la présence de certaines figures, qui n'auraient pas été présentes dans la version originale selon eux. Je ne demande pas le texte en grec évidemment ; je dis juste que réécrire une démonstration avec le langage actuel, c'est dénaturer l'apport de chaque (groupe de) mathématicien(s). Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)
En reprenant la preuve d'Euclide, elle consiste à définir de proche en proche une séquence finie de nouveaux nombres premiers. De fait, il démontre qu'on peut construire autant de nombres premiers que souhaité a priori (ie avant de se lancer dans la preuve).
Il n'y a pas dans Euclide la donnée d'une suite de nombres premiers construite de proche en proche. Ce n'est pas parce qu'on a énoncé la manière d'obtenir le terme suivant à partir des termes précédents qu'on dispose d'une suite infinie (je veux dire : même si et a fortiori si on ne connait pas une notion d'infini). Tout au plus sait-on démontrer qu'il existe une séquence finie vérifiant la relation de récurrence pour toute longueur donnée a priori (ie avant d'en montrer l'existence). Je donnerai une référence où cette analyse des Eléments d'Euclide est développé.
Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 19:36 (CEST)
  • Pour les parties 5 et 6, il est nécessaire de sourcer les informations. Toute information non sourcée devrait être supprimée. Une IP peut introduire une information douteuse, sans sources à l'appui, personne ne pourra le lui reprocher : pourquoi sourcer lorsque rien n'est sourcé ?~
En ce qui concerne le paragraphe 5, la source est donnée, il s'agit de GIMPS. N'importe qui peut aller vérifier. En ce qui concerne le paragraphe 6, faut-il sourcer toutes les démonstrations mathématiques qu'on trouve dans la littérature ? Theon 17 juillet 2007 à 18:19 (CEST)
Certes. Si tu regardes mes contributions, je n'ai pas en général l'habitude de sourcer les informations que j'ai introduites. Le principal reproche que font les contributeurs aux articles de Wikipédia sur les mathématiques est qu'il manque de sources. Sourcer l'information n'est pas une corvée. Cela permet d'enrichir sa culture personnelle en enrichissant ses connaissances sur l'histoire des mathématiques d'une part et d'autre part en précisant l'information qu'on pourrait soi-même introduire.
Je ne pense pas qu'un lien interne vers un article de Wikipédia qui pointe vers un site est une "source". Une source est soit un lien mis en référence où l'information est expliquée, soit un livre, en précisant les pages concernées.
Pour les démonstrations mathématiques, il n'est pas compliqué de donner un nombre fini de références complètes dans tels et tels domaines, et d'indiquer les pages où se trouvent les démonstrations. Il me semble inutile de multiplier les références pour une démonstration, à moins que différentes références donnent des démonstrations senseiblement différentes pour un même résultat. Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 19:36 (CEST)
  • Il existe beaucoup d'algorithmes intéressants pour tester la primalité. Il existe test de primalité. La partie 6 pourrait donc être simplifié si un lien est inséré.
Pas tout à fait ! L'article que tu cites est bien moins complet. IL faudrait plutôt remettre à jour ce dernier avec la partie 6.--Us 21 juillet 2007 à 23:31 (CEST)
C'est exactement ce que je dis : lorsque je cite un article, je ne me parle que du contenu qu'il pourrait avoir. Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)

Je ne l'avais pas interprêté comme cela. Alors nous sommes d'accord.--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

  • Je trouve qu'on insiste trop sur le développement décimal de 1/p et pas assez sur les propriétés des nombres premiers, sur le théorème de Dirichlet notamment. On ne donne pas à chaque propriété l'importance qu'elle mérite.
Oui, mais en même temps (sauf erreur) tu ne trouveras nulle part ailleurs sur wiki ce sujet (1/p) traitée...
Certes, mais est-ce un sujet important et indispensable ? On n'écrit pas un traité de mathématiques ! Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)
On écrit pas un traité, mais il faudrait une encyclopédie sur le sujet. Est-ce important ? mais on garde un vieux nosnos, comme un point historique... Stop ! Je ne veux pas sur-défendre cette partie, mais cela me semble plus important que les gravures sur l'os... Tout dépend (comme déjà dit) de la portée qu'on veut y mettre.--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)
  • Les relations d'ordre, les ordres de grandeur, et autres informations mériteraient d'être sourcées.
Les auteurs sont cités tout même. Si tu trouves un lien...
Non, pas un lien. Seulement en références des articles ou des livres avec les pages concernées (avec balises ref). Ekto - Plastor 22 juillet 2007 à 21:41 (CEST)
Pardonner mon ignonrance des balises "ref". Je vais essayer de retrouver les reférences (bien que c'est souvent plus des références de références, comme souvent, qu'on retrouve).--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)
  • Les questions ouvertes peuvent être données ailleurs dans l'article ; il ne me semble pas nécessaire d'y consacrer un paragraphe spécifique. Il y a trop de parties dans cet article. :)
C'est pourtant bien mieux avec des titres. Le sujet est vastes, les parties en sont le reflet.--Us 28 juillet 2007 à 15:19 (CEST)
  • Le paragraphe Citations doit être sourcé.
Zou. C'est fait pour Euler. Theon 19 juillet 2007 à 14:39 (CEST)

Principal reproche sur cet article : le manque de sources !

Sourire Ekto - Plastor 17 juillet 2007 à 15:19 (CEST)

[modifier] Anonymous user spamming

I suggest the rollback of the contributions of 67.142.130.46: his formula is a complicated formula provided without any explaination and without any reliable sources. The same anonymous has been spamming the same formula (with accompanying website) on it:Numero primo and en:Formula for primes (and maybe other projects as well). Salvatore Ingala 8 août 2007 à 13:04 (CEST)

Fait merci - thanks - grazie Peps 8 août 2007 à 13:37 (CEST)
J'ai scanné un peu le "WIKI Mondial", et on trouve encore la formule dans http://af.wikipedia.org/wiki/Priemgetal http://et.wikipedia.org/wiki/Algarv http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo / IL serait peut-être bien de les prévenir aussi ?--Us 18 août 2007 à 12:08 (CEST)

Ces formules sont-elles effectivement compliquées ? Les preuves qui commencent à etre avancées ont l'air si simples ! Ne serait-ce pas un tas d'idées simples, aussi nombreuses qu'elles puissent etre ? Après tout l'humanité a soif de connaissance ...

Us a déjà répondu plus haut, et visiblement, son avis est totalement partagé par plusieurs intervenants qui interviennent régulièrement pour supprimer les dites formules : On peut également dire que si ces formules marchent, elles ne sont d'aucun intérêt autant du point de vue théorique que technique. En effet, dans l'article on présente déjà une formule qui repose sur le principe de la partie entière. Mais cette technique n'apporte aucun renseignement théorique sur les nb premiers. De plus, la formule de l'article a bien plus d'intérêt que celles proposées ici car le calcul est possible. Qu'alors n! ou 2n rend impossible le calcul pratique. Imaginer le nb d'opérations à effectuer juste pour n=100 ! Si l'auteur veut faire reconnaitre ses formules, qu'il s'adresse à une communauté de mathématicien au lieu de discuter de ces recherches sur Wiki.. Theon 21 septembre 2007 à 08:16 (CEST)

[modifier] Refonte

Je suis en train de refondre l'article : voir ma page de brouillon. J'en suis à la section 6 dans ma numérotation. Il reste des trucs qu'on pourrait éventuellement virer : 4.4, 4.5, certainement des passages de 6.1 (que je n'ai pas encore examiné)., mais je ne l'ai pas fait pour le moment, le but étant d'abord juste d'organiser un minimum le matériel disponible actuellement. Cela dit, est-ce que ça va dans le bon sens ? Si pas d'objection, je ferai un remplacement d'ici quelques jours. Ĩl restera de toute manière beaucoup de boulot pour faire un truc correct.Salle 21 septembre 2007 à 15:13 (CEST)

  • Désolé, mais je serais très critique sur ta version. Tu vire ce qui a le plus d'importance (à mes yeux) au profit de trucs anecdotiques. Je ne vais pas tout citer point par point, car tu en supprimes tellement... Mais quelques remarques d'ordre général : Celui qui lira ta version n'aura presque aucun outil pour le calcul des nb premier, mais surtout il restera avec une impression de mystère sur ces nb... C'est ce qui me gêne le plus... car de là on va voir des gourous réapliquer -:); (en filigramme, se pose la question aussi du niveau de lecture : A qui s'adresse l'article ?) --Us 22 septembre 2007 à 09:31 (CEST)
Pas de problème à ce que tu sois critique, tant que ça reste courtois : c'est bon pour le teint de se faire remonter les bretelles :). Par contre, je vais te demander d'être plus précis pour deux raisons : d'une part, je n'ai pas encore commencé à virer du contenu (mais j'ai effectivement l'intention de le faire, en transférant ce qui me semble anecdotique sur d'autres pages) ; d'autre part, le but de la refonte était justement que l'article soit suffisamment structuré pour qu'il y ait moins de prise pour le mysticisme. Quant au niveau de lecture, je me place volontairement à un niveau bas : la notion de nombre premier est une des plus célèbres en maths, il me semble donc qu'on doit écrire un article largement accessible. Salle 22 septembre 2007 à 09:47 (CEST)
* Euh... si ! tu as viré du contenu... (peut-être une mauvaise manip ?) Pour exemple : Formule implicite... sans compter la refonte totale de l'algo de division qui n'a plus rien de compréhensible fusionné dans le crible d'Erasthostène... Bon, sur ton initiative, je vais m'essayer à la même chose... Au final, on pourra voir pour garder la meilleure structure, et refusionner les meilleurs parties... T'en penses quoi ? Mais personnellement, structurellement je resterai assez proche de cette article... Sur ta version brouillon, je te ferais des remarques précises sur ta page un petit peu plus tard (le Week-End prochain). --Us 22 septembre 2007 à 11:26 (CEST)
En fait, formule implicite contenait le crible de Sundaram. Il est maintenant dans la section algo, dans une version plus ramassée. Et j'espérais (et honnêtement, je pense toujours) que mon écriture, plus ramassée, de l'algo de division le rendrait plus compréhensible.
Pour répondre à ta question sur ce que je pense, je pense surtout que l'article a besoin d'une refonte ; j'y travaille ; et c'est très bien que quelqu'un d'autre y travaille aussi. Après, je crains qu'on ait des goûts assez différents, donc la fusion demandera de la patience et de l'écoute ; voilà tout. Je vais continuer à écrire, et j'attendrai tes remarques le week-end prochain. Cordialement, Salle 22 septembre 2007 à 11:40 (CEST)

A Salle : Tout d'abord, bravo pour l'initiative ! Je comptais faire une refonte de l'article, mais je n'allais pas avoir le temps de la faire ces temps-ci. J'avais fait déjà des remarques plus haut, les as-tu lues ? Sur ton début d'article, j'aurais quelque avis à émettre :

  • Partie 1 : Ne faudrait-il pas renommer en Emergence de la notion de nombres premiers, titre plus en rapport avec le contenu que tu proposes ? Il faudrait peut-être d'avantage développer : en quoi la connaissance des premiers nombres premiers est-elle nécessaire pour le calcul fractionnaire égyptien ?
  • Partie 2 : Je te signale l'article Théorème d'Euclide sur les nombres premiers. Il serait intéressant de développer aussi cet article et de renvoyer le lecteur à ce dernier.
  • Partie 3 : Des éléments d'histoire des mathématiques pourraient être introduits... Mais j'imagine que tu comptais le faire.
  • Partie 4 : En la renommant en Algorithmes, on pourrait étendre son contenu.
  • Partie 5 : J'aurais déplacé cette partie pour la traiter avec le théorème d'Euclide.

Je poste ce message pour que tu saches qu'il y a aussi des contributeurs qui partent d'un avis favorable sur ta proposition (bien qu'encore incomplète). Bonne continuation. Sourire Ekto - Plastor 24 septembre 2007 à 00:09 (CEST)

Ok, merci de ton avis. Pour la partie histoire, je n'avais pas l'intention de la traiter sérieusement ; plus généralement, je voulais juste améliorer l'article, pas tenter de livrer un produit fini. Mon goût me porte plus vers les remarques historiques au fil du texte, un peu comme dans la section répartition, dans laquelle effectivement j'étais tenté de fondre la section sur l'infinité des nombres premiers. Puisqu'on est au moins deux à le souhaiter, c'est ce que je vais faire sur mon brouillon. Pour la partie algorithmes ou calcul, c'est vrai qu'elle n'est pas très équilibrée : on privilégie les méthodes inefficaces. Mais, je ne connais pas AKS, ni les méthodes de crible (à part une implémentation une fois du crible quadratique à un seul polynôme, et ça n'avait pas été fructueux), donc, pour le moment, je ne suis guère en mesure d'être plus précis. A quels autres algorithmes tu pensais ? Et j'ai vu qu'il y avait eu une discussion ; au demeurant, à l'époque, j'espérais qu'elle aboutirait à un bel article, sans que j'ai besoin de m'en occuper. A partir du moment où j'ai décidé de m'y plonger, je n'ai pas lu en détail la page de discussion : je préfère travailler sur mon brouillon, et discuter sur un truc un peu concret, il me semble qu'on avancera plus vite. Salle 24 septembre 2007 à 10:03 (CEST)

=

Première chose, je suis critique mais pas nécessairement d’avis négatif ! Néanmoins, je n’ai pas le même point de vue (sur tout) que Salle. Il m’est difficile de critiquer point par point (à part quelques uns) sa première version, car de nombreuses informations sont imbriquées, et en défaire une, déséquilibrait un paragraphe entier, si une réécriture n’intervient pas.

La version brouillonne actuellement proposée ne remplie pas certains objectifs à mes yeux, qu’il me semble nécessaire. Quels sont-ils ? Ou plus précisément que doit retenir un lecteur de l’article ? Je vous propose un petit « checklist » d’ordre général :

0. Qu’est-ce un nb premier ?

1. Quand la notion de nb premier a été étudiée ?

2. Quel intérêt à ces nb ?

3. Comment les calcule-t-on ?

4. Quels sont les propriétés importantes?

5. Quelle perspective (ou recherche) mathématique actuelle avec ?


… et puis c’est tout !


A peu de chose près, il me semble qu’on veut tendre vers ces réponses, en évitant de développer trop certains aspects anecdotiques. (Les aspects anecdotiques sont évidemment discutables, mais bon… ne faisons pas de polémique, tout de suite… -) ; )


Ceci amène à définir un plan, dont les grandes lignes sont déjà connues :


A. Définition des nb premiers et petit tour d’horizon :

- Un nombre premier est un entier naturel…, (point n°0)

- On peut légitiment enchaîner sur une première petite liste (présentation des nb)

- Définir un procéder élémentaire d’obtention (point n°3)

- Intérêt arithmétique élémentaire (pour un premier niveau de lecture, point n°2)

- Intérêt général, au-delà de l’aspect purement math. (encore point n°2 et 5)


Ce Point A, est avant tout un petit tour d’horizon, un peu repris par nos versions respectives, mais pas complètement d’ailleurs ; dont le niveau de lecture doit rester élémentaire, je pense.


B. Point historique : (point n°1)

- « La première trace incontestable… Antiquité… »

- Quelques résultats importants au cours du temps, avec renvoi sur le nom du mathématiciens, (sans développer leurs travaux) : Une sorte de petite chronologie…


Dans ce point B, je vire l’os d’Ishango car en premier lieu c’est un aspect (nécessairement) anecdotique. IL est très facile de polémiquer sur cet os, tant que tout repose sur des interprétations sans fondement. Or, on veut que dans Wiki les sources soient vérifiables ! ( et qu’il existe déjà un article sur le sujet, suffit largement…) Je vire aussi, mathématiques égyptiennes bien que cela est plus discutable, mais il n’y a pas eu (à ma connaissance) d’étude véritablement des nb premiers par ces derniers, même s’ils devaient en avoir remarqués l’existence.


C. Calcul des nombres premiers : (point n°3)

- Infinité des nombres premiers : Démonstration d’Euclide (point n°1,3,4)

- Renvoi par lien sur les autres démos : démo par factorielle, d’Euler etc.

- Lister les nombres premiers : Crible d’Ératosthène, Crible de Sundaram

- La primalité d'un nombre : Déterminisme ou probabiliste

- Renvoi par lien sur l’Algo de la division.

- Les formules menant aux nombres premiers : Présentation des 3 aspects : (forme polynomiales, modulaire, partie entière)

Pour ce point C, il convient de voir quelles formules gardées, et quels renvois faire avec des liens. Le théorème de Wilson est important à garder car c’est une formule clé. La formule de Jones, Sato, Wada et Wiens est à virer sur une autre page. Elle est tout à fait anecdotique et n’apporte en réalité rien.

Les 3 rubriques : Lister, Primalité et Formules me semble très pratique et clarifie la présentation.


D. Les propriétés (point n°4)

- (ici voir ma page qui regroupe les propriétés citées dans l’article)


J’ai pas grand-chose à dire pour ce point D, mais je pense que faire de la littérature ne serait pas assez clair.


E. Recherches et perspectives (point n°5)

- Fonction de Reimann

- Questions ouvertes : (reprise de l’article)


Bien sur, rien de figé… mais voilà un peu près comment je vois les choses… Je ne détaille pas plus, c’est assez long comme ça…

=

Maintenant, critiquer la première version de Salle, c’est évidemment une gageure tant qu’on ne voit pas les choses de la même façon. Enfin, certains points mal conçu selon moi :

1. Presque toutes les algorithmes (formules) qui permettent un calcul des nb premiers ne sont plus présentés, sous une forme utilisable. (c’est dommage)

2. Algorithmes par essais de division : Dedans, il y a une vague référence à la division, couplé au crible d’Erathostène. Or ce dernier, ne met pas en jeu la division ! C’est justement ce qu’il évite… la notion évoquée par ce crible est la multiplicité, donc l’inverse de la divisibilité, tout comme la soustraction est l’inverse de l’addition.

Mes propos sont un peu catégorique pour éviter des longueurs (même si c'est le cas...) . J'espère qu'il ne seront pris avec agressivité. Je ne prétends rien, je tente juste d'améliorer l'article en exposant mon point de vue.


A+,--Us 30 septembre 2007 à 23:11 (CEST)

Déjà, je suis rassuré : j'avais peur que tu sois très partisans des formules de Jones, etc., et c'est ce qui me faisait craindre des difficultés. Puisque cela pourrait être un premier point d'accord, commençons par là.
  • Il faut effectivement voir ce qu'on garde parmi ces formules qui me semblent ésotériques, parce que je ne connais pas. J'ai gardé tout ce qui concerne les polynômes et ensembles diophantiens, parce qu'il m'a semblé que cela avait constitué un axe de recherche important, en lien avec des questions plus générales ; quant aux autres formules que j'ai virées, c'est surtout parce qu'elles étaient isolées. Est-on d'accord sur le principe qu'une formule doit être évoquée si on peut la mettre en perspective, et sinon, on vire (je pense au truc de la partie entière, et à celui de Le Vavasseur, par exemple) ? Quant à la donner explicitement, si elle est évoquée, je suis d'accord que c'est superflu ici : il vaut mieux une page dédiée.
  • Pour les algorithmes. La présentation de l'algo par essais de division me semble plus utilisable dans ma version (une variante parfois plus efficace consiste à ne tester la divisibilité de n que par des petits nombres premiers dans une liste fixée au préalable (par exemple 2, 3 et 5), puis par tous les nombres entiers inférieurs à la racine carrée de n qui ne sont divisibles par aucun des petits nombres premiers choisis) que dans la version actuelle : les mêmes choses sont dites, sous une forme plus ramassée. Un développement intéressant serait une comparaison de complexité entre Erat. et cet algo comme test de primalité. Mais c'est vrai que j'abuse en parlant de variante, et qu'Eratosthène n'est pas un algo par essai de divisions, il faut que je trouve un autre titre. Les tests probabilistes ne sont pas non plus présentés de manière utilisable dans la page nombre premier. Je ne suis pas partisan d'écrire des algorithmes en pseudo-code ici : quelqu'un intéressé par une présentation plus détaillée ira voir crible d'Ératosthène, ou test de primalité de Fermat. Qu'en penses-tu ?
  • Je tiens beaucoup à avoir un paragraphe répartition des nombres premiers ; il me semble que c'est le lieu naturel où parler de l'infinité, et que ça permet d'aller d'Euclide à Green-Tao, d'une façon épistémologiquement juste.
  • Pour la partie histoire, je ne m'en occupe pas.
  • Et je suis d'accord avec ton idée de premier paragraphe. Il doit effectivement contenir une présentation élémentaire, puis des ouvertures, qu'on ne saurait pas forcément placer ailleurs, mais qui ne demandent pas trop de techniques mathématiques : essentiellement j'ai envie d'y mettre le matériau de mon paragraphe sur Structures algébriques, topologiques et nombres premiers. Ceci est lié à ce que je voudrais éviter de faire une partie Propriétés, qui revient, me semble-t-il, à dire : « ça, on ne savait pas où le mettre, donc on l'a mis là. » Salle 1 octobre 2007 à 12:01 (CEST)

Sans intervention d'ici la fin de la semaine, je procèderai au changement, sur la base de ce que je propose sur ma page de brouillon. Salle

[modifier] Refonte effectuée

J'ai fait le remplacement comme discuté ci-dessus. J'ai commencé le travail de sourçage. Il y a sûrement des choses que j'ai virées et qui peuvent être réintroduites, mais ce serait bien de le faire en sourçant, mettant en perspective : l'article ne doit plus être une accumulation de faits disparates et sans lien. En tout état de cause, ce que je propose doit être vu comme une base de travil plus saine que ce qu'il y avait précédemment, en aucun cas comme quelque chose d'achevé. Salle 12 octobre 2007 à 14:58 (CEST)

[modifier] log ou ln

L'usage veut que les fonctions classiques ne soient pas italisées. On écrira donc en latex \ln plutôt que ln seul qui donne une horrible formule. il en est de même pour de nombreuses fonctions classiques.Claudeh5 13 octobre 2007 à 18:37 (CEST)

[modifier] attention à ne pas écrire n'importe quoi

la somme \sum\frac1p n'existe pas. Il faut l'écrire avec une limite.Claudeh5 13 octobre 2007 à 18:42 (CEST)

En effet, dans Raisonnement divins de Aigner et Ziegler, ils précisent que \prod_{p \text{ premier, }p \le n}\frac{1}{1-1/p}=\sum \frac 1m \ge \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} où m parcourt tous les entiers dont les diviseurs premiers sont inférieurs ou égaux à n. Le passage à la limite donne le même résultat mais, personnellement je trouve cette démonstration très lourde alors qu'il en existe tant d'autres plus jolies (Nombre de Fermat, infinité de nombres premiers dans toute suite arithmétique dont raison et premier terme sont premiers entre eux...). Enfin, le même livre attribue à Euler une autre propriété autrement plus intéressante : la série \sum_{p \text{ premier}}\frac1p est divergente. HB 14 octobre 2007 à 16:58 (CEST)
C'est vrai que la démonstration est lourde mais c'est la seule correcte. on n'a donc pas le choix (sauf à démontrer le grand théorème des nombres premiers mais la démonstartion n'est pas moins lourde !)Claudeh5 14 octobre 2007 à 17:57 (CEST)
je ne comprends pas : la démonstration d'Euclide ne serait pas correcte ? HB 14 octobre 2007 à 18:06 (CEST)
Ce n'est pas celle d'Euler (je suppose qu'il s'agit d'une coquille) qui est fausse mais celle qu'on lui prête.on a \sum_{p \text{ premier}, p \le x}\frac1p\approx \ln \ln xClaudeh5 15 octobre 2007 à 17:35 (CEST)
Oui, j,ai repris ce qu,il y avait dans l,ancienne version sans verifier. Mea culpa. Salle 16 octobre 2007 à 08:32 (CEST)
Ok je crois bien qu'il s'agit d'un malentendu. je parle du chapitre 6.1. sur l'infinité des nombres premiers où, après une allusion à la démonstration d'Euclide on propose une autre démonstration (effectivement fausse à force dêtre imprécise) censée être celle d'Euler. Je ne vois pas l'utilité de celle-ci (pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?). En revanche doit figurer le fait que non seulement les nombres premiers sont en nombre infini mais qu'en plus la série des inverses des nombres premiers est divergente. Ce que tu exprimes d'ailleurs en écrivant que \sum_{p \text{ premier}, p \le x}\frac1p\approx \ln \ln x. (Pour info, Erdös propose pour cette dernière propriété une démonstration d'une relative simplicité). HB 16 octobre 2007 à 10:06 (CEST)

Je ne vois pas trop où est le problème. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} est la limite quand N tend vers l'infini de \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}, et vaut +\infty. \prod_{p \text{ premier}}\frac{1}{1-1/p} est la limite quand N tend vers l'infini de \prod_{p \text{ premier}, p \le N}\frac{1}{1-1/p} et vaut également +\infty. Dans ce sens, on a bien égalité entre les deux quantités. Pour le montrer, Euler utilise les canons de son époque et il est anachronique de lui reprocher de ne pas utiliser des concepts développés un siècle plus tard. De toute façon, l'article ne détaille pas la façon dont Euler procède, et le résultat qu'il énonce est indubitablement vrai. Theon 16 octobre 2007 à 09:03 (CEST)

Dire que l'infini = l'infini peut être dit de nombreuses manières. Si l'on veut que l'indication soit éclairante il faut indiquer quelle somme finie est identifiée à quel produit fini. Mais comme j'explique plus haut, je ne vois pas l'utilité de cette preuve pour affirmer que l'ensemble des nombres premiers est infini. Euclide suffit. HB 16 octobre 2007 à 10:06 (CEST)
d'accord avec HB : Euler lui-même semble considérer ses résultats comme des propriétés de rareté (cf corollaires du theorema 7 dans le pdf en lien) ; je trouve que la présentation actuelle affadit cela Peps 16 octobre 2007 à 10:59 (CEST)
Il n'empêche que je remercie grandement Theon pour le lien vers le texte d'Euler qui m'a réjouie par son élégance et effrayée par son traitement de somme et produit infini (la dem en l'état ne serait probablement plus acceptée de nos jours ). HB 16 octobre 2007 à 11:46 (CEST)
en réponse à peps, on ne peut absolument pas écrire infini=infini comme ça.Cela ne viendrait à l'idée de personne (j'espère ...) d'écrire l'égalité \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} et pourtant les deux sont infinis. Il faut comprendre dans l'écriture \sum_{n=1}^{\infty} une abréviation pour \lim_{x \rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{x}. D'ailleurs le "etc" d'Euler n'a pas d'autre signification.Claudeh5 16 octobre 2007 à 12:28 (CEST)
en réponse à HB, le résultat d'Euler en dit beaucoup plus que la simple infinité des nombres premiers. Ils pourraient être en nombre infini et pourtant avoir une somme des inverses finies. L'exemple est le théorème de Brun qui démontra que la série des inverses des nombres premiers jumeaux est finie (bien que l'on conjecture qu'il en existe une infinité).Claudeh5 16 octobre 2007 à 12:51 (CEST)
C'est bien ce que j'ai dit " En revanche doit figurer le fait que non seulement les nombres premiers sont en nombre infini mais qu'en plus la série des inverses des nombres premiers est divergente." HB 16 octobre 2007 à 17:14 (CEST)

Pour répondre à HB, non, Euclide ne suffit pas. Car ce que fait Euler est beaucoup plus puissant qu'Euclide. Il introduit des méthodes d'analyse dans des questions arithmétiques, et cette introduction se révélera particulièrement fructueuse. D'ailleurs, dans le même texte mis en référence (th.8), Euler montre que \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^n}= \prod_{p \text{ premier}}\frac{1}{1-1/p^n}. Bon, d'accord, il l'applique aussi au cas n = 1... Theon 17 octobre 2007 à 15:48 (CEST)

[modifier] il faut arrêter de rêver

On ne pourra pas reconstituer la pensée réelle des mathématiciens du 17e ou du 18e siècle concernant leurs façons de rédiger les preuves. Chaque siècle conteste les démonstrations des siècles précédents et le 21e siècle contestera à coup sûr les preuves des théorèmes du 20e siècle. On n'y peut rien: les connaissances mathématiques évoluent et la précision des démonstrations est en constante augmentation, rendant les raisonnements antérieurs tels qu'ils sont écrits ambigus au sens d'aujourd'hui. Ils ne le sont probablement pas en fait mais nous ne comprenons plus totalement le propos un peu ancien. Aussi est-il bon de reprendre les raisonnements anciens et de réécrire les preuves anciennes en termes d'aujourd'hui tout simplement pour qu'elles soient comprises, car ce qui compte ce n'est pas le texte ancien mais l'argument utilisé pour conclure. Et l'argument, lui, est permanent.Claudeh5 16 octobre 2007 à 13:05 (CEST)

[modifier] 18e siècle

Avant les apports du 19e siecle, il y a ceux du 18e !Claudeh5 13 octobre 2007 à 18:44 (CEST)

[modifier] Succédé et non succédées

Succéder est un verbe intransitif. Il n'admet pas de complément d'objet direct. Le pronom réfléchi se est ici non pas complément d'objet direct de succéder, mais complément d'objet indirect. On ne succède pas qqc, on succède à qqc. Dans ce cas, il n'y a pas d'accord. Si le verbe avait été transitif, la règle aurait bien sûr été différente : elles se sont serré les mains. Elles se sont serrées l'une contre l'autre. Source : Bescherelle, grammaire pour tous, ou bien [2]. Merci donc de laisser elles se sont succédé. Theon 14 novembre 2007 à 18:05 (CET)

un verbe est dit intransitif s'il n'admet pas de complément d'objet. Or succéder, de par son sens même, appelle un complément d'objet indirect. Il n'est donc pas intransitif. "Un verbe intransitif est un verbe qui n'est pas accompagné d'un complément d'objet" http://www.synapse-fr.com/manuels/TRANSI.htm
Mais le complément d'objet n'est pas direct. Il ne peut donc pas y avoir d'accord.Theon 15 novembre 2007 à 07:59 (CET)
D'autre part, il s'agit manifestement d'une aberration orthographique: on ne succède généralement pas à soi-même (sauf dans le cas d'un mandat électif où c'est possible). Ici, la succession des civilisations suppose la mort de la précédente. Il ne s'agit donc pas non plus d'une forme pronominale ! Je suggère donc de mettre, pour clore la question, "Des tablettes d'argile séchées attribuées aux civilisations qui se succédèrent en Mésopotamie...".
Il n'y a pas d'aberration. On applique simplement la règle grammaticale relative à l'accord avec le COD.Theon 15 novembre 2007 à 07:59 (CET)
Enfin, une tablette ne peut raisonnablement pas être attribuée à plusieurs civilisations.
Déja que je conteste la présence de l'os d'Ishango dans l'article: ce n'est pas parce qu'on a trouvé 11 chaises dans une piece que les participants savaient faire des multiplications ou des divisions et connaissaient la définition des nombres premiers.Claudeh5 15 novembre 2007 à 06:47 (CET)
On peut trouver certaines règles grammaticales complètement stupides ; mais on se doit de les respecter, au moins dans la rédaction des articles de Wikipédia. Je mentionne au passage que la bonne orthographe me trouble ... mais c'est la bonne orthographe. Clin d'œil
Par ailleurs, pour information, les tablettes babyloniennes ne se limitent pas à des multiplications ou à des divisions, mais présentent aussi des descriptions d'algorithmes permettant de résoudre des problèmes arithmétiques et géométriques... (Ce serait un test intéressant de demander à des lycéens de résoudre les problèmes en question.) Les tables présentant des valeurs numériques diverses (tables de logarithmes par exemple) ont pendant plusieurs millénaires été utilisées avant d'être remplacées par un ordinateur.
Sourire Merci, Claudeh5, de bien vouloir respecter la neutralité de point de vue, et de ne pas se fonder sur des a priori. Kelemvor 15 novembre 2007 à 13:08 (CET)

Bonsoir Theon. Désolé d'avoir (encore) essayé d'accorder ce "succédé"... J'avais un peu bataillé sur ça il y a quelques mois. Je n'avais pas vu ton explication, qui est tout à fait correcte en effet (c'est piège je trouve... mais effectivement, on succède A quelqu'un, compl obj indirect). Je n'essayerai donc plus de """corriger""" cette erreur d'accord qui n'en est PAS une ! Clin d'œil Merci et bonne fin de soirée. Didier Misson (d) 14 janvier 2008 à 01:00 (CET)

[modifier] ishango et al

En parfait accord avec Claude h5 plus haut, je trouve que la référence à Ishango pour commencer est plus que douteuse (grand hit populaire, comme d'ahbitude parce qu'on en a parlé dans les journaux). Mais dans tous les cas, il faut donner une source pour cette interprétation, et de préférence, indiquer que c'est controversé. La date de naissance de l'écriture ne peut être qu'approximative et on a déjà des textes très élaborés en -3200. Certains auteurs reconstruisent vers -3500, d'autres un peu après, etc. --Cgolds (d) 9 mars 2008 à 18:35 (CET)

Plutôt d'accord avec Claude h5 moi aussi. Lerichard (d) 11 mars 2008 à 00:24 (CET)