Mécanique du solide

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Illustration de la complexité du solide par rapport au point matériel

La mécanique du solide est la partie de la mécanique qui s'intéresse aux objets que l'on ne peut réduire en un point matériel. Cela permet notamment de décrire et modéliser les rotations de l'objet sur lui-même.

L'objet est lui-même composé de points matériels, que ce soit des points discrets — par exemple un assemblage de boules reliées par des baguettes de masse négligeable, chaque boule pouvant être modélisée par un point matériel — ou un ensemble continu de points. En général, on suppose le solide indéformable ; la déformation du solide relève de la mécanique des milieux continus.

La mécanique du solide est donc une branche de la mécanique traitant du comportement des mécanismes constitués de pièces rigides en général, et parfois déformables. L'objectif principal étant la détermination des performances d'un système en vue d'établir un dimensionnement adapté à l'usage envisagé, ou la validation de ces grandeurs.

Sommaire

1 Définition formelle
2 Des points au solide
3 Modélisation par les torseurs
- 3.1 Relation de Varignon, notion de torseur
- 3.2 Torseur cinématique

[modifier] Définition formelle

On appellera solide indéformable un ensemble de points tels que pris deux à deux, leur distance ne varie pas au cours du temps. Si les points sont discrets, on peut les noter M_i, et donc

$\forall (i,j), \| \overrightarrow{M_{i}M_{j}} \| = \mathrm{constante}$ .

[modifier] Des points au solide

La mécanique du point peut s'appliquer en chaque point du solide, ou bien, dans le cas d'un solide continu, pour chaque élément infinitésimal de volume dV autour d'un point (x, y, z).

Considèrons le barycentre G des points du solide. Dans le cas d'un ensemble de points matériels discrets M_i et masse m_i, on a :

$(\sum_i m_i)\, \overrightarrow{OG} = \sum_i m_i \, \overrightarrow{OM_i}$ ,

O étant l'origine du référentiel. Dans le cas d'un solide compact occupant un volume V, on peut définir en chaque point une densité ρ, et l'on a alors

$x_G = \int_V \rho(x, y, z) \, x \, dx \, dy \, dz~,$

$y_G = \int_V \rho(x, y, z) \, y \, dx \, dy \, dz~,$

$z_G = \int_V \rho(x, y, z) \, z \, dx \, dy \, dz~.$

En intégrant les lois de Newton sur le solide, on en déduit que le mouvement du barycentre lui-même peut être décrit par la mécanique du point ; on considére que les résultantes des forces du solide s'exercent sur le barycentre. Par exemple, si chaque élément de volume est soumis à un poids $\rho(x,y,z) \, dV \, \vec{g}$ , alors on peut considérer que le barycentre est soumis au poids $m \, \vec{g}$ avec

$m = \int_V \rho(x,y,z) \, dV$ .

On peut de même écrire le moment en chaque point du solide par rapport à une référence. En intégrant cette notion, on arrive à la notion de moment d'inertie et de moment cinétique.

On a donc deux types d'actions à décrire, qui font intervenir deux modèles : les translations, avec le centre d'inertie et les lois de Newton, et les rotations, avec les moments. Pour synthétiser cela, on peut utiliser un objet mathématique appelé torseur.

[modifier] Modélisation par les torseurs

Article détaillé : Torseur.

[modifier] Relation de Varignon, notion de torseur

Soient $\vec{m}$ un champ de vecteurs appelés moment, $\vec{R}$ un vecteur appelé résultante et $A, B$ deux points du solide, on dit que ces éléments sont liés par la relation de Varignon si :

$\vec{m}(A)=\vec{m}(B)+\overrightarrow{AB} \wedge \vec{R}$

Les vecteurs $\vec{m}$ et $\vec{R}$ sont donc liés, on appelle torseur le couple de ces deux vecteurs et on le note :

$\{T \}= \{\vec{m}(A), \vec{R} \}$

[modifier] Torseur cinématique

Soient $\vec{V}$ le champ des vecteurs vitesse du solide $S$ dans un référentiel $R$ et $O$ l'origine de l'espace. On a :

$\vec{V}(A \in S,R) = \frac{d \overrightarrow{OA}}{dt}$

une relation de Chasles nous donne alors

$\vec{V}(A \in S,R) = \frac{d \overrightarrow{OB}}{dt} + \frac{d \overrightarrow{BA}}{dt}$

or, on montre qu'il existe $\vec{\omega}$ tel que $\frac{d \overrightarrow{BA}}{dt} = \overrightarrow{AB} \wedge \vec{\omega}$

alors

$\vec{V}(A \in S,R) = \vec{V}(B \in S,R) + \overrightarrow{AB}\wedge \vec{\omega}$

on a alors une relation de Varignon, on peut donc définir un torseur appelé torseur cinématique :

$\{ V \} = \{ \vec{V}(A \in S,R), \vec{\omega} \}$

où le champ des moments est le champ des vecteurs vitesse et où la résultante est le vecteur $\vec{\omega}$ appelé vecteur vitesse de rotation sa norme est la vitesse de rotation instantanée du solide.