Discuter:Espace vectoriel

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J'ai noté B en fonction des évaluations du Wikiconcours. Jean-Luc W 26 septembre 2007 à 13:33 (CEST) RahxelfonikX: Bon on va dire que c'est du détail, mais c'est peut être que je n'ai rien compris, mais un élément de E est un vecteur, il faudrait peut-être mêttre des flèches sur le u dans les définitions. De plus si quelqu'un peut mêttre les démonstrations ceci pourrait être intérressant je trouve.

Pour les flèches ce n'est pas utile, cette notation est surtout utilisée en physique lorsqu'on se place dans un espace vectoriel de dimension 1,2 ou 3 Pommarel rémi 24 mars 2007 à 16:42 (CET)


Mirfax: Le mot 'champ' désigne-t-il un corps commutatif (j'insiste bien sur le commutatif)?


Ryo: pour le "si et seulement si", oui, mais là, la phrase était construite ainsi: "telle situation n'est possible que si", donc ça donne déjà l'équivalence.

Snark

Certes, autant pour moi...
Mais ça serait pas plus clair de le formuler mathématiquement ? ^_^;;;
(ou en traduction française, du genre 'combinaison nulle implique coeff nuls')
Ryo 16:06 fév 20, 2003 (CET)
C'est vrai que cette phrase n'était pas très claire; j'ai réécrit, c'est mieux comme ça? Snark 19:13 fév 20, 2003 (CET)

Sommaire

[modifier] Qu'est-ce que cela donne en français ?

Tout simplement : "On peut atteindre tout point d'un espace vectoriel en combinant dans les bonnes proportions ses vecteurs unitiares de base". Mais encore ? Eh bien par exemple "on peut afficher toute couleur avec la synthèse trichrome par un bon triplet de chiffres correspondant aux valeurs de rouge, de vert et de bleu". Ou bien : "On peut définir n'importe quel point de l'espace 3D par ses coordonnées (x,y,z)".

Tous les espaces vectoriels ne sont pas de dimension finie et cette remarque en français n'est pas valable pour un espace fonctionnel par exemple.

  • Peux-tu STP remettre ce paragraphe dans le corps du texte ? Une encyclopédie ne doit pas être un lieu d'étalage de pédantisme, ni chercher à concurrencer des ouvrages spécialisés en faisant moins bien, mais au contraire ouvrir l'esprit et la curiosité du lecteur. Merci. François-Dominique 24 jul 2004 à 02:13 (CEST)
    • Dans l'espace vectoriel des fonctions dérivables quels sont les vecteurs de base ? cette remarque doit figurer dans espace vectoriel de dimension finie
      • Cette remarque me paraît à l'encontre de ce que j'ai suivi en cours d'analyse et où mes professeurs insistaient sur le fait que l'infini est à considérer comme une propriété (celle de pouvoir être à volonté supérieur à toute valeur choisie) et non comme une valeur (raison pour laquelle d'ailleurs les puristes préfèrent l'expression devient infinie à "tend vers" l'infini). Cela dit, je ne suis pas contre un transfert vers espace vectoriel de dimension finie, à condition de mettre un lien dessus. La bonne démarche pédagogique consiste en effet à aller du simple au complexe, du concret à l'abstrait, et non l'inverse. François-Dominique 24 jul 2004 à 02:33 (CEST)
        • La vulgarisation ne me dérange pas; si quelqu'un me dit qu'un espace vectoriel est un ensemble qui est plutôt droit qu'en forme de patate je comprends mais ce qui me dérange c'est cette histoire de base c'est tout.
          • OK. Alors que dirais tu d'ajouter simplement en tête les mots : Dans le cas d'un espace vectoriel de dimension finie, moyennant quoi tout rentre dans l'ordre ? :o) François-Dominique 24 jul 2004 à 02:55 (CEST)

[modifier] Lien avec l'article somme d'espaces vectoriels

L'article "somme d'espaces vectoriels" est inconsistant (la "définition" qui y est donnée n'a pas de sens) ; il me semble préférable de supprimer le renvoi à cet article. Vivarés 4 novembre 2005 à 22:56 (CET)

[modifier] Structure algébrique additive sur G = E - {0} ?

On ne peut pas définir de loi interne additive (par restriction de l'addition de E) sur G = E - {0} puisque si u est un élément de G, alors son opposé v est aussi un élément de G, et u + v = 0. Quant à parler de monoïde, la question ne se pose même pas.Vivarés 20 février 2006 à 11:10 (CET)

[modifier] Article trop long ?

Il y a beaucoup de choses à dire sur les espaces vectoriels mais du coup on a un article qui met un temps fou à charger, notamment avec tout le TeX présent. Je suggère la création de "sous-articles" pour décentraliser et alléger cette page. On pourrait faire sous-espace vectoriel, espace vectoriel de dimension finie, mais aussi transférer tout ce qui concerne les familles et les bases dans les articles idoines qui existent déjà. Au final, on aurait un article traitant uniquement de la définition d'un espace vectoriel et quelques exemples, et d'autres articles sur les sujets plus précis. PieRRoMaN ¤ Λογος 20 février 2006 à 16:41 (CET)

ça dépend du point de vue, on peut apprécier trouver un cours en entier sans avoir à jongler aver les liens et perdre le fil. Mais il est vrai que l'article trop long, et part de la définition pour aboutir à des sujets très pointus comme les polynomes de Lagranges -qui n'intéressent peut-être pas celui qui ne comprend pas ce qu'est un espace vectoriel.Vhailor
ne faudrait-il pas "alléger" la définition en en disant simplement que (E,+) est un groupe, et en revoyant à la page des groupes ? Par ailleurs, il manque une précision importante : E doit être non-vide ! Ca, je le rajoute ... Pdm
En général on ne le précise pas puisque dans les axiomes il y a l'existence d'un vecteur nul. Oxyde 24 janvier 2007 à 22:21 (CET)

[modifier] Famille

définir une famille comme un ensemble, ce n'est pas traditionnel (voir des livres de deug/prepa, de logique ...), ça n'est pas cohérent avec les notations utilisées dans l'article, et ça ne fonctionne pas me semble-t-il : par exemple (u,u) est liée, mais {u,u} = {u} ? Proz 22 novembre 2006 à 21:37 (CET)

Entièrement d'accord avec Proz. Une famille d'éléments d'un ensemble E indexée par un ensemble I n'est rien d'autre qu'une application de I dans E ; et confondre cette application avec l'ensemble de ses valeurs conduit à des incohérences comme celle qui est indiquée ci-dessus. Vivarés 22 novembre 2006 à 22:09 (CET)
Tout à fait d'accord. En conséquence, j'ai remplacé le terme ensemble par « collection » qui est à ma connaissance l'un des principaux termes utilisés pour définir naïvement la notion de famille. PieRRoMaN 22 novembre 2006 à 22:26 (CET)

Je suis impressionné par ces réactions rapides. Je pense modifier l'article famille (mathématiques) en ne conservant que le sens famille indexée (c'est en suivant les pages liées que je suis arrivé sur cet article), et au passage retirer la catégorie algèbre linéaire. Suggestion (pour l'article ev) : peut-être définir d'abord dans le cas fini, puis généraliser (puisque les ev finis semblent privilégiés, par ex th. de la base incomplète non traité dans le cas général) ? Si vous suivez un peu les pages d'algèbre linéaire, toujours en regardant les pages liées, j'ai vu famille libre, famille génératrice qui eux ne traitent que le cas fini ! Proz 22 novembre 2006 à 23:21 (CET)

[modifier] Idées pour développer l'article

Si cela intéresse les candidats je propose pour enrichir l'article :

  • Une section applications avec :
Cas fini appliqué Mécanique newtonienne, l'Analyse en composantes principales en statistique, les codes linéaires en théorie des codes avec des espaces vectoriels sur des corps finis.
Cas fini théorique extension algébrique avec la construction à la règle et au compas d'un heptadécagone (polygone régulier à 17 cotés) en Théorie de Galois, Loi de réciprocité quadratique avec l'espace vectoriel de l'algèbre d'un groupe fini en arithmétique, l'espace tangent d'une variété différentielle en géométrie.
Cas non fini appliqué avec l'équation de la chaleur en analyse harmonique, la modélisation des orbites d'un atome d'hydrogène avec l'Équation de Schrödinger en mécanique quantique.
Cas non fini théorique Théorème de Riesz sur un Espace vectoriel normé, Théorème de Banach-Steinhaus sur un Espace de Banach et Analyse fonctionnelle (mathématiques) sur un espace de Hilbert.

Cela suppose une modification de la structure de l'article, les parties purement mathématiques devraient être dans un deuxième article du style Structure d'un espace vectoriel et traités ici de manière généraliste pour être accessible au plus grand nombre avec des titres de paragraphe comme dimension, corps d'un espace vectoriel, application linéaire, topologie.

J'y vois plusieurs intérêts : l'article touche un public plus vaste, il traite de manière plus exhaustive le sujet, chaque exemple est choisi pour pouvoir être illustré et la recherche des références est simple.

Si une telle approche vous semble intéressante, faites moi signe. Jean-Luc W 9 mai 2007 à 18:43 (CEST)

Cette approche me semble très intéressante ! Cet article me semble excessivement technique. Le lecteur λ fuirait à grandes enjambées avant d'avoir acquis la plus petite notion de ce qu'est un espace vectoriel. Alcandre (») 18 juillet 2007 à 10:25 (CEST)
Il est certainement utile de développer l'historique et ajouter une section applications. Cependant, il ne faut pas oublier que l'espace vectoriel est un objet mathématique qui mérite donc (à mon avis) un article plus technique que celui d'algèbre linéaire.--Ambigraphe 18 juillet 2007 à 21:42 (CEST)

[modifier] Une proposition plus fine de plan

Voilà une première proposition de plan, dans la ligne du précédent. Il est plus détaillé et montre de graves faiblesses. Il est beaucoup trop long, un peu de bon sens montre que l'on se dirigerait vers un article de 30 à 35 pages. Si in fine, le savoir décrit par le plan doit se retrouver dans WP, il faudra délester une large partie vers d'autres articles. Cela nous condamne à ne pas respecter le troisième critère de l'article parfait mais je pense que nous n'avons pas le choix. Première action, imaginer un article algèbre linéaire pour permettre une bonne articulation.


Jean-Luc W 21 septembre 2007 à 12:31 (CEST)

Pour la longueur je ne sais pas mais le plan m'a l'air excellent. Valvino (discuter) 21 septembre 2007 à 12:46 (CEST)

Merci, je suis en train d'essayer quelque chose sur mon brouillon. Jean-Luc W 26 septembre 2007 à 13:33 (CEST)

[modifier] Confusion entre SEV en somme directe et SEV supplémentaires

Deux SEV peuvent être en somme directe sans être pour autant supplémentaires dans l'espace vectoriel "ambiant". Par exemple dans un espace vectoriel E de dimension supérieure ou égale à 3 (éventuellement infinie), deux droites vectorielles D, D' engendrées resp. par deux vecteurs constituant une famille libre sont en somme directe : tout élément de la somme S = D + D' (somme qui est ici un plan vectoriel) se décompose de manière unique comme la somme d'un élément de D et d'un élément de D'  ; ainsi S = D \oplus D'\,. Mais SE (pour raisons de dimensions) donc D et D' ne sont pas supplémentaires dans E (en revanche, elles sont supplémentaires dans S).
La bonne définition est : deux SEV de E sont supplémentaires (dans E) si leur somme S est directe et si de plus S = E. --Vivarés (d) 14 juin 2008 à 13:00 (CEST)