Discuter:Ensemble

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C'est bien pour ca que l'ensemble de tout les ensembles n'existe pas, un ensemble n'etant pas qu'une simple collection d'objet. Certaines proprietes doivent être rempliesDtcube

[modifier] Cantor parlait il anglais ???

Les écrits de Cantor sont tous en allemand, pourquoi y a-t-il alors une citation en anglais ?? Xmlizer 2 nov 2004 à 10:56 (CET)

Bien sûr que non! Je l'ai supprimée et je l'ai remplacée par la citation originale en allemand trouvée sur le web. Pierre de Lyon 17 décembre 2005 à 11:10 (CET)

Citation qu'il serait bon de traduire, si quelqu'un parle allemand dans le coin :) Mathieu Bonnet 6 août 2006 à 21:32 (CEST)

Je comprends très mal l'allemand, mais je ne suis pas sûr de retrouver "multitude" dans l'original, "zusammenfassung" est-ce vraiment ça ? (par ailleurs, sur le fond, le terme "multitude" ne me gêne pas). Proz 22 décembre 2006 à 14:06 (CET)

[modifier] Egalité et axiome d'extensionnalité

Dans le présent article, on définit l'égalité à partir de l'appartenance :

(1) $( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,$

Si c'est une définition de l'égalité que l'on donne ici à partir de l'appartenance, alors, dans un souci de cohérence de l'encyclopédie, il convient, dans l'article axiome d'extensionnalité de définir le dit axiome, non pas par la définition (1) ci-dessus mais par la propriété

$\forall a, \forall x, \forall y, (x=y \land x \in a) \Longrightarrow y\in a$ .

Ou bien on ne donne pas de définition de l'égalité, en considérant ZF comme un langage égalitaire, et alors on prend (1) comme axiome de l'extensionnalité relatif à une propriété de l'appartenance, mais pas comme définition de l'égalité. Bref, il y a un pb de cohérence entre les deux articles. Theon 11 mars 2006 à 16:04 (CET)

Je suis d'accord avec cette remarque, j'ai réécrit de façon plus informelle le paragraphe, sans donner l'égalité extensionnelle comme une définition. Quelquechose à ce sujet devrait par ailleurs apparaître dans l'article axiome d'extensionnalité.Proz 18 décembre 2006 à 22:12 (CET)

[modifier] Listes non ordonnées

Il y a un contributeur sous IP qui semble bien aimer les listes non ordonnées, et qui veut les placer dans les articles de théorie des ensembles (voir "doublette" dans Discuter:couple (mathématiques)). Mais les listes non ordonnées, ce n'est pas une notion primitive en théorie des ensembles. C'est même un peu plus compliqué à définir que les suites finies. Pourquoi ne pas faire un article à ce sujet ? Mais il ne faut pas les introduire dans des articles de ce genre, pour régler d'une façon qui ne peut être satisfaisante, une petite ambiguïté sur le mot "paire". De plus le lemme appelé ici SP3 introduit une hypothèse inutile, de toute façon. Proz 2 septembre 2006 à 23:33 (CEST)

[modifier] Trop formel ?

En reprenant un terme ("flou") qui me semblait inadapté dans l'introduction, je me suis laissé entraîné plus loin. Il me semble que pour un article qui doit être plutôt introductif, celui-ci a une approche bien formelle, sur les ensembles finis par exemple. Il y a aussi un article paire, je ne crois pas que dans le présent article on ait besoin d'un paragraphe sur le sujet. Proz 18 décembre 2006 à 22:19 (CET) En regardant de plus près : ces "définitions en extension" d'ensembles infinis ne tiennent pas debout, on peut les garder, mais en tant que notations. Proz 22 décembre 2006 à 13:31 (CET) [modifié depuis dans ce sens]

[modifier] Ensembles, éléments et appartenance

J'ai fait deux petites modifs dans le début : sur les notations ensemble/éléments (maj/min), et disjonction entre ensembles "concrets" et l'exemple de 4 qui appartient à 2 ensembles distincts -- il me semble que cette précision restait trop implicite.

Par contre je n'ai pas osé souligner l'ambiguïté portée par la phrase "les éléments peuvent être de n'importe quelle nature": le lecteur non prévenu entendra qu'il y a des ensembles de ceci, des ensembles de cela, mais on pourrait entendre, et ce serait mathématiquement correct, que dans un même ensemble il peut y avoir des objets de nature diverse (des nombres et des fonctions, des points et des droites, des pommes et des livres..). Vaut-il mieux le laisser dans l'ombre ou le préciser (sachant que çà n'a guère de conséquences pratiques..)?

Plus bas, ajouté l'origine du choix du epsilon ; j'hésite sur le verbe grec correspondant : εστειν ?(+ esprit et accent, si quelqu'un se sent..)

--Fr.Latreille 22 février 2007 à 15:56 (CET)

Il n'y a pas en théorie des ensembles de distinction à faire entre la nature des objets.

Un élément d'un ensemble est lui-même un ensemble ; un nombre est un ensemble ; une fonction est un ensemble ; et on peut considérer un ensemble comportant un élément et une fonction ; ... Pour faire court, tous les objets sont de même nature.

S'il y a des distinctions à faire entre des ensembles, elles se situent à un autre niveau, et n'est pas lieu d'être dans les "mathématiques ordinaires". Amha, la phrase "les éléments peuvent être de n'importe quelle nature" serait plutôt à supprimer.

Ekto - Plastor 22 février 2007 à 18:00 (CET)

Même si en théorie des ensembles un entier est un ensemble, je ne pense pas qu'il faille commencer par là. Donc il vaut mieux signaler qu'un ensemble peut être composé de divers types d'objets. Par contre on peut laisser dans l'ombre le caractère possiblement hétérogène (si c'est vraiment utile, la définition de von Neumann des entiers ou des ordinaux par ex., on passe justement en théorie des ensembles où il n'y a plus que des ensembles). Proz 4 mars 2007 à 19:18 (CET)

[modifier] Egalité de deux ensembles

Lu ce qui précède ("Egalité et axiome d'extensionnalité").

Je crois que c'est l'ensemble du paragraphe qui est bancal. Je plains le lecteur non habitué qui verra deux ensembles, d'abord distincts, devenir "égaux", puis "identiques", puis se réduire à un seul...

AMHA, c'est le titre qui fait tout foirer : l'objet réel du paragraphe est Comment définir un ensemble. On peut parler de définitions en extension ou en compréhension, et noter que plusieurs définitions de l'un ou l'autre type peuvent aboutir à une même extensionnalité : on pourra alors parler au choix d' ensembles égaux ou d' un ensemble unique .

Quant à l'écriture "A = B ", on pourrait avantageusement la lire comme "A et B sont deux noms d'un même ensemble ".

--Fr.Latreille 22 février 2007 à 16:57 (CET)

Deux ensembles sont les mêmes lorsqu'ils sont exactement les mêmes éléments. C'est clairement écrit, mais il y a trop de phrases inutiles autour.

L'axiome de l'identité des ensembles est sans nul doute le plus facile à comprendre. Un ensemble est défini uniquement par la donnée de ses éléments.

L'ensemble

{1,2,3}

est égal à

{1,2,3}

car les deux comprennent exactement les mêmes éléments.

Je ne comprends pas ton incompréhension.

Ekto - Plastor 22 février 2007 à 18:08 (CET)

Ce qui me gêne c'est l'expression "deux ensembles sont les mêmes": il y en a un ou deux ? Dans ton exemple,

{1,2,3}

est évidemment le même que lui-même, mais est-il identiquement le même que

{3,2,1}

, ou lui est-il seulement égal ? Egalité, identité, unicité se confondent-elles ? (Moi je suis moi, mais pas identique à qui que ce soit!)

D'accord, il ne faut pas entrer ici dans des sophistications, mais ne pas suggérer non plus des confusions..

"Un ensemble est défini par la donnée de ses éléments"? Cette phrase n'a pas de sens s'il est défini par compréhension!

L'affaire, c'est que parfois on croit parler d' un autre ensemble et qu'ensuite on s'aperçoit que c'est le même. On a donné deux noms, et ces noms ne nomment qu'une chose.

Bon. Si, tu crois que je pinaille, j'arrête

. Aux prochains lecteurs de dire s'ils sont satisfaits.. -- Fr.Latreille 22 février 2007 à 22:54 (CET)

Je répète : deux ensembles sont dits égaux, identiques, être les mêmes objets, ... lorsqu'ils ont exactement les mêmes éléments, c'est l'axiome d'extensionnalité. (J'avais oublié le nom de cet axiome.) Par exemple, l'ensemble vide est uniquement défini, s'il existe. L'ensemble {1,2,3}, {3,2,1} ou l'esemble des valeurs prises par une suite périodique prenant successivement les valeurs 1; 1: 1; 2; 2; 3 sont exactement les mêmes en tous les sens du terme.

Evidemment, tu pourrais dire qu'au niveau des collections, deux collections pourraient être différentes et contenir exactement les mêmes objets.

Lorsque tu définis un ensemble par compréhension, tu le définis bien par les éléments qu'il contient : tu considères l'ensemble des ensembles appartenant à X vérifiant une certaine propriété.

Ekto - Plastor 24 février 2007 à 00:00 (CET)

Toujours pas d'accord. Quand on dit qu'un ensemble a 2 éléments, ceux-ci sont distincts (sinon il n'en aurait qu'un); quand on dit (pas seulement toi, tout le monde) que "deux ensembles sont égaux", il n'y en a qu'un... et donc pas deux!

Je crois donc qu'il faut préciser, au besoin en note, que {1,2,3} et "l'ensemble des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à 4" (ou autre..) représentent le même ensemble, ou sont deux noms du même ensemble. Dire que ce sont deux ensembles est une facilité qu'on se permet pour éviter des périphrases.

Par contre je ne comprends pas l'idée que tu me prêtes sur les collections : si je conteste le fait que deux ensembles puissent être différents et contenir les mêmes éléments, ce n'est pas pour proposer que des "collections" aient ce droit.

Quant à la compréhension, je persiste à dire que définir un ensemble par une propriété caractéristique de ses éléments ce n'est pas donner ces éléments. On est à la limite du débat sur l'intuitionnisme et le constructivisme, choses évidemment hors de propos ici, mais pour moi cette phrase inutile, bien que commune, ne passe pas.

On continue?

(ne te crois pas obligé..) -- Fr.Latreille 24 février 2007 à 17:30 (CET)

L'égalité est une relation qui présuppose de mettre en jeu deux objets ... qui se trouvent être le même. Lorsqu'on parle de deux objets, on ne sous-entend pas a priori qu'ils sont distincts. Sinon, pourquoi dirait-on deux objets distincts ?

A priori, les collections ne vérifient rien, aucune propriété. Donc, les collections peuvent "avoir le droit" d'être différentes et de posséder les mêmes éléments. Pour les ensembles ce n'est pas le cas, puisque toute bonne théorie des ensembles contient au moins l'axiome d'extensionalité qui est la moindre des choses : il est normal d'affirmer l'égalité entre deux ensembles qui contiennent exactement les mêmes éléments (intuitionnisme ...).

Ekto - Plastor 24 février 2007 à 17:44 (CET)

J'ai l'impression que c'est le sens de l'égalité qui est en jeu (syntaxe et sémantique disons) dans ces discussions plutôt que celui d'ensemble. Les définitions directe par extensionnalité ne vont pas très loin, ensembles finis, ensembles infinis donnés par un procédé d'énumération à la rigueur, mais se limiter à ça c'est "anti-cantorien". C'est bien à travers l'égalité, l'axiome d'extensionnalité ou un procédé analogue, que l'on définit l'extensionnalité en théorie des ensembles. Ceci dit ça peut sûrement être plus clair. Cet article doit être majoritairement une approche de la notion intuitive d'ensemble, et pas un article sur la théorie axiomatique (tout en restant en accord avec celle-ci). Proz 4 mars 2007 à 19:32 (CET)

effectivement on navigue entre syntaxe et sémantique, et ce n'est pas l'objet de l'article. Cela étant, je crois qu'il est d'autant plus important de privilégier une phrase comme il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes (forme intiuitive de deux noms pour un objet unique), et éviter les cafouillages entre égaux et identiques (deux triangles égaux ne sont pas identiques!) -- et là je ne fais pas de la théorie axiomatique! -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:06 (CET)

C'est pour cela qu'il est préférable de dire triangles semblables ; groupes isomorphes ; variétés difféomorphes ; ... On peut même préciser : le revêtement universel est bien défini à unique isomorphisme de revêtement près.

Bref, a été introduit un vocabulaire distinct pour parler d'égalité et d'identification ...

Evidemment, tout ça c'est de la sémantique, et on ne va pas bien loin avec toute cette histoire. Ekto - Plastor 4 mars 2007 à 23:27 (CET)

L'égalité est utilisée au sens d'identité, c'est l'usage du signe "=" en math. On ne parle plus de triangles égaux au sens isométriques. Proz 4 mars 2007 à 23:47 (CET)

[modifier] epsilon

Le epsilon a je crois plusieurs graphies dont l'une ressemble fort à l'appartenance. Vous êtes sûr de votre coup pour la forme ε utilisée par les logiciens anglo-saxons ? Ca ne serait pas eux qui ont adopté la forme actuelle ? Proz 4 mars 2007 à 19:38 (CET) PS. Le epsilon par défaut en TeX, qui devrait être la forme anglo-saxonne : $epsilon :\ \epsilon$ .

c'est surtout que ça manque de référence et d'ailleurs l'article n'en a aucune. Snif, encore un autre. Oxyde 4 mars 2007 à 21:00 (CET)

le epsilon de l'article est celui (unique) de l'alphabet grec (intégré à WP, et figurant dans les grammaires grecques); je l'ai vu utilisé tel quel dans plusieurs livres en langue anglaise, mais j'avoue ne pas avoir les références. Donc OK pour supprimer ma phrase (en attendant mieux..) -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:06 (CET)

Pour ma part, j'ignore l'origine du symbole d'appartenance, mais je ne saurais pas étonné d'apprendre qu'il dérive du epsilon. Ekto - Plastor 4 mars 2007 à 23:29 (CET)

Pour ça aucun doute, Peano et les italiens de l'époque écrivent d'ailleurs ε et pas ∈. Proz 4 mars 2007 à 23:57 (CET)

En ajoutant les références, j'ai "commenté" la traduction grecque de "je suis" : il faudrait traduire "est" ce que je ne sais pas faire. Ceci dit ce n'est pas non plus dans l'article de Peano de 1889. Proz 26 mars 2007 à 00:03 (CEST)

en grec, "je suis" = ειμι ; "il est" = εστι ; "être" = ειναι (il manque l'esprit sur le epsilon, et l'accent); epsilon initial dans les 3 cas, je pense qu'il faudrait le signaler quand même.

A part çà, OK pour les modifs. -- Fr.Latreille 2 avril 2007 à 00:28 (CEST)

[modifier] Mode math

Pourquoi avoir enlevé le mode mathématique ? C'est quand même beaucoup plus pratique puisque ça évite les problèmes de compatibilité entre les différents OS et navigateurs. Ban 26 mars 2007 à 01:21 (CEST)

les deux modes étaient utilisés dans le §, suivant les lettres. J'ai harmonisé dans un sens (plus léger, et, sur le navigateur que j'utilise, plus agréable à l'oeil). Mais si ça pose encore des problèmes de compatibilité ... Sinon le \epsilon de TeX est traduit sur mon navigateur, au moins quand il est isolé pour le moment, en ε (unicode je suppose), ce qui correspond plutôt à \varepsilon. La plupart du temps on s'en moque, mais là justement non. Proz 26 mars 2007 à 10:24 (CEST)

Désolé mon navigateur ne lit pas tous les symboles utf8. Oxyde 26 mars 2007 à 10:54 (CEST)

J'ai remis le mode math au début de l'article, ça permet à ceux qui n'ont pas tous les caractères unicode de voir au moins à quoi ressemble le $\in$ et le $\notin$ . Arct (d) 6 février 2008 à 18:06 (CET)