Diviseur

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En mathématiques, un diviseur d'un entier n, aussi appelé un facteur de n s'il est un entier qui divise également n sans laisser un reste. Par exemple, 7 est un diviseur de 42 parce que 42/7 = 6. Nous disons aussi 42 est divisible par 7 ou 42 est un multiple de 7 ou 7 divise 42 et nous écrivons généralement 7 | 42. Les diviseurs peuvent être positifs ou négatifs. Les diviseurs positifs de 42 sont {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Certains cas spéciaux : 1 et -1 sont les diviseurs de chaque entier, et chaque entier est un diviseur de 0. Les nombres divisibles par 2 sont appelés pairs et ceux qui ne le sont pas sont appelés impairs.

Le nom vient de l'opération arithmétique de division : si a/b=c alors a est le dividende, b le diviseur, et c le quotient.

[modifier] Critères pour les petits diviseurs

Il existe certaines règles qui permettent de reconnaître les petits diviseurs d'un nombre à partir du nombre de ses chiffres décimaux.

Un critère de divisibilité est un critère que vous pouvez utiliser pour déterminer la divisibilité d'un nombre par un autre nombre. Ceux-ci sont basés sur les congruences modulo le diviseur cherché.

Par exemple, en système décimal, nous voulons savoir le critère pour le diviseur 3.

10 est congru à 1 modulo 3, 100 est congru à 1 modulo 3,...,10^n est congru à 1 modulo 3

Tout nombre en système décimal s'écrivant :

$an \times 10^n + \ldots + a2 \times 10^2 + a1 \times 10^1 + a0 \times 10^0\,$ , il vient

$an \times 1 +...+ a2 \times 1 + a1 \times 1 + a0 \times 1\,$

c’est-à-dire la somme des coefficients des puissances de 10, c’est-à-dire la somme des chiffres qui composent le nombre, ceux-ci doivent être divisibles par 3 pour que le nombre soit divisible par 3.

[modifier] Notions supplémentaires et résultats

Quelques règles élémentaires :

Si a|b et a|c, alors a|(bx+cy).
Si a|b et b|c, alors a|c.
Si a|b et b|a, alors a=b ou a=-b.

Un diviseur positif de n qui est différent de n est appelé un diviseur strict (ou une partie aliquote) de n. (Un nombre qui ne divise pas également n', mais qui laisse un reste, est appelé une partie aliquante de n).

Un diviseur positif de n non trivial, c'est-à-dire différent de n est appelé un diviseur propre.

Un nombre entier n > 1 qui ne possède pas de diviseur propre est appelé un nombre premier.

N'importe quel diviseur de n est le produit de diviseurs premiers de n avec une certaine puissance en exposant. Ceci est une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique.

Si un nombre est égal à la somme de ses diviseurs stricts, il est appelé un nombre parfait. Les nombres inférieurs à cette somme sont dits déficients, alors que les nombres plus grands que cette somme sont dits abondants.

Le nombre total de diviseurs positifs de n est une fonction multiplicative d(n) (par exemple :

$d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)\,$ ).

La somme des diviseurs positifs de n est une autre fonction multiplicative $\sigma(n)\,$ (par exemple :

$\sigma(42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma(2) \times \sigma(3) \times \sigma(7)\,$ ).

La relation | de divisibilité munit l'ensemble $\mathbb{N}$ des nombres entiers positifs d'une relation d'ordre partiel, ce qui en fait un ensemble partiellement ordonné, en fait dans un réseau distributif complet. Le plus grand élément de ce treillis est 0 et le plus petit est 1. La relation binaire de borne supérieure $\vee$ est donnée par le PGCD et la relation binaire de borne inférieure $\wedge$ par le PPCM. Ce réseau est isomorphe au dual du réseau des sous-groupes du groupe cyclique infini $\mathbb{Z}\,$ .

Si un nombre entier n est écrit dans une base b, et d est un nombre entier avec b ≡ 1 (mod d), alors n est divisible par d si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par d. Le critère donné pour d=3 donné plus haut est un cas particulier de ce résultat. (b=10).

Article détaillé : arithmétique modulaire.

Si la décomposition en facteurs premiers de n est donnée par

$n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_n^{\nu_n}$

alors le nombre de diviseurs positifs de n est

$d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_n + 1),$

et chaque diviseur est de la forme

$p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_n^{\mu_n}$

où

$\forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i.$

[modifier] Diviseurs en géométrie algébrique

En géométrie algébrique, le mot « diviseur » est utilisé dans un sens plutôt différent. Les diviseurs sont une généralisation des sous-variétés de variétés algébriques ; deux généralisations différentes sont d'un usage commun, les diviseurs de Cartier et les diviseurs de Weil. Les concepts conviennent aux variétés non-singulières algébriquement des domaines fermés. N'importe quel diviseur de Weil est une combinaison linéaire localement finie de sous-variétés irréductibles de codimension un. Pour chaque diviseur de Cartier D, il existe un paquet de ligne associé dénotée par [D], et la somme des diviseurs correspond au produit tensoriel des paquets de lignes.

[modifier] Voir aussi

Table des facteurs premiers -- Une table des facteurs premiers de 1 à 1000
Table des diviseurs -- Une table de diviseurs premiers et non-premiers de 1 à 1000