Discuter:Corps fini

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	Revoir la typographie. Kelson (d) 17 février 2008 à 12:59 (CET)

Ce serait bien de discuter de Frobénius, de polynômes cyclotomiques...

Snark 20:22 fév 17, 2003 (CET)

[modifier] Corps à deux éléments

Je n'ai pas trouvé d'article faisant la connexion entre le corps fini à deux éléments ( $\mathbb{F}_2,+,.$ ) et l'algèbre de Boole ainsi qu'avec le calcul des prédicats en informatique. La relation est évidente si on identifie XOR (OU exclusif) à l'"addition" et AND (ET logique) à la "multiplication". L'aspect polynônial des fonctions logiques est alors source de simplification, du moins conceptuelle.

[modifier] Corps commutatif ou non

J'ai modifié la phrase sur la convention d'ajouter la commutativité aux axiomes d'un corps. La première raison est que la convension choisie ici est en cohérence avec le reste de Wikipédia, la deuxième raison est que dans toutes les références utilisés dans l'article un corps n'est pas choisi par défaut commutatif, la convention anglaise n'est pas générale en France. Jean-Luc W 27 janvier 2007 à 17:45 (CET)

[modifier] Corps à un élément

Le passage sur le plus petit corps (à deux éléments), m'a fait me demander s'il ne faudrait pas mentionner dans l'article le mythique « corps à un élément » (voir par exemple [1]), mais c'est peut-être trop anecdotique. Pour ma part, de toute façon, je ne connais pas assez le sujet pour écrire quoi que ce soit sur ce thème. --DSCH (pour m'écrire) 7 février 2007 à 20:31 (CET)

J'ai été un peu étonné par le serieux de la référence, si Madore en parle alors... Comme il le confirme, il n'existe pas de corps à un élément. Que certains résultats d'algèbre se comprennent comme si un corps à un élément existait, c'est indéniable, mais pour l'instant on ne sait pas définir un tel corp. Jean-Luc W 8 février 2007 à 00:36 (CET)

[modifier] Existence

Je laisse pour l'instant ce paragraphe sous l'état d'une ébauche. Si Salle ou Jean Luc W passent par là, peuvent-ils modifier les paragraphes consacrés. Je n'ai pas encore touché aux paragraphes sur la théorie de Galois. Ekto - Plastor 7 février 2007 à 23:45 (CET)

Plusieurs éléments m'interpellent:

Dans corps Premier: Pourquoi pointer vers algorithme de Bézout qui n'existe pas alors que l'article Identité de Bézout contient exactement le résultat?

Car je n'ai pas pris la peine de vérifier les liens. Il n'est pas évident de garder en mémoire l'ensemble des articles existants. E

Pourquoi répéter des démonstrations déja existantes ? (Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier cf groupe cyclique, ou le groupe multiplicatif est cyclique de dimension p-1).

Car je préfère dans la mesure du possible qu'un article soit autosufisant. Ce n'est pas parce qu'il y a la possibilité dans cette encyclopédie d'effectuer des liens entre les articles qu'il ne faut pas se dérober à ce principe de base de toute encyclopédie. E

Dans le cas d'une politique de répétition des preuves, pourquoi démontrer une partie et pas l'essentiel? (Je pense à la démonstration sur le corps multiplicatif pas de démonstration sur l'exposant ni sur le fait que dans un corps un polynôme n'a pas plus de racines que son degré).

Il serait a priori déraisonnable de répéter toutes les preuves. La preuve que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier est dans le coeur du sujet : l'article parle des corps finis ! Savoir quels quotients de Z qui sont effectivement des corps est essentiel pour la suite. Et la preuve n'est pas couteuse. Par contre, amha, la démonstration sur l'exposant serait en elle-même anecdotique et hors-sujet. Elle relève des groupes commutatifs, non des corps finis ; le résultat peut être admis. Le nombre de racines d'un polynôme sur un corps est supposé évidemment connu pour des raisons analogues. C'est comme dans un livre : il est bien de rapeler rapidement des preuves élémentaires ; même si à côté on admet volontiers des résultats qui ne le sont pas. Il faut bien sûr discuter plus en avant de quelles preuves sont réellement centrales. E

J'ai bien du mal à comprendre,soit l'aspect cyclique du groupe multiplicatif est central dans la suite, alors il faut une démonstration complète, soit elle ne l'est pas et un lien suffit, pourquoi admettre l'exposant et le nombre de racines d'un polynôme à coefficient dans un corps et pas le reste ? JLW

Dans le fond, je ne suis surtout pas favorable à la répétition des démonstrations. Pourquoi mettre en référence un article qui n'existe pas alors qu'un autre contient déjà les démonstrations (groupe cyclique) ?

Je ne pense pas que renvoyer un lecteur à un article qui le renvoie à un autre article qui lui-même pointe vers un autre article ... soit une solution. De plus, chaque article connait son évolution propre ; il se peut qu'un article soit fortement modifié par la suite et il ne faut pas que sa réorganisation affecte d'autres articles. Le risque est que le lecteur soit renvoyé vers un article qui ne traite plus du sujet en question. Donc dans la mesure du possible chaque article doit être indépendant des autres articles. E

C'est pourtant essentiellement ce que tu fais, tu renvois par exemple à corps de rupture, qui renvoit à extension simple qui renvoit à extension algébrique qui renvoit à extension de corps. JLW

Dans Automorphisme de Frobenius: Pourquoi pointer vers le puissant lemme de Gauss hélas pour l'instant limité sur les polynômes (et qui ne traite pas des entiers naturels) et non pas sur le bon vieux lemme d'Euclide qui semble pourtant convenir dans ce contexte?

Car je ne me rappelais plus du nom précis des "lemmes".E

Si tu ne te rappelles pas des lemmes (que d'autres peuvent aussi avoir oublié) pourquoi modifier une démonstration qui fonctionne pour une autre qui utilise des arguments plus sophistiqués? JLW

Pourquoi choisir une petite fonte pour les formules et une grosse pour les inclusions d'image dans le texte.

Je ne comprends pas la question. Peux-tu la reformuler ? E

Pourquoi appeler le paragraphe automorphisme, pointer vers endomorphisme et le définir comme homophormisme.

Car j'ai déplacé le paragraphe et je ne l'ai pas renommé. Il faut l'étoffer.E

1) Tu l'as déplacé, ce qui ne fait pas sens car c'est la base de l'utilisation de la théorie de Galois. 2) tu l'as tronqué en lui otant les parties indispensables pour la suite de la démonstration. 3) homomorphisme est utilisé dans le cas des modules et pas des anneaux ou des corps. Tu n'as insisté que sur un point valable dans les modules et non spécifiques au corps. JLW

Pourquoi ne pas démontrer la surjectivité?

Car l'homomorphisme de Frobenius défini sur un anneau n'a a priori aucune raison d'être surjectif. L'est-il ? E

Rien à voire avec les anneaux, la surjectivité vient de la finitude, ici nous sommes dans le cas d'une structure finie, et cette propriété est indispensable pour la suite. JLW

Pourquoi retirerl'analyse des points fixes, alors que l'argument est essentiel pour le reste de l'article? Pourquoi l'avoir déplacer alors qu'il est la base de l'utilisation de la théorie de Galois?

Lis mieux l'article. L'ensemble des points fixes d'un automorphisme de corps forme un sous-corps. C'est une évidence, et ce n'est pas encore la théorie de Galois. E

J'ai bien lu je crois, 1)la démonstration de la clôture algébrique suppose déjà démontré l'existence des extensions. 2 Le fait que les points fixes soit limités à F_p n'est pas forcément une évidence, sans cette analyse le reste de l'article ne tient plus. JLW

Clôture algébrique: Comme défini dans l'article, une clôture algébrique est close, c'est à dire que tout polynôme est scindé, et pas uniquement un seul.

Tout polynôme n'est pas forcément simplement scindé (autrement dit scindé avec des racines simples). Ici, le nombre de racines est égal au degré du polynôme car il est premier avec sa dérivée. Et de plus, ses racines forment un sous-corps de la cloture algébrique. Cela donne l'existence des corps finis ; et ce n'est pas encore la théorie de Galois. E

Simplement scindé n'est pas expliqué et référencé dans WP le terme exact est séparable. Je n'ai donc pas compris le sens que tu lui donnes ici et qui n'a pas d'explication dans l'article. De plus tu commences par l'extension algébrique, terme à la signification précise qui n'a rien à voire avec clôture algébrique, je n'ai donc pas compris. JLW

Dans le cas d'un unique polynôme on parle de corps de décomposition qui n'est pas un lien rouge. Un corps de décomposition n'est en général pas de la même dimension que son nombre de racines, le resultat le plus fréquent et factoriel (nb racines) comme montré dans les exmples. J'ai du mal à comprendre la démonstration de l'existence.

On ne parle pas ici d'un polynôme quelconque. La première preuve de l'existence repose sur l'existence de la cloture algébrique (donc plus ou moins sur l'axiome du choix!). On exhibe un polynôme simplement scindé, de degré p^n et dont les p^n racines forment un corps. E

Ta démarche est difficilement compréhensible, pour construire la clôture algébrique il faut déjà avoir montré l'existence des corps de décomposition. Je n'avais donc pas compris ta pensée. JLW

Corps de rupture: si l'existence a été démontrée par un argument sur le corps de décomposition, qu'apporte le paragraphe? Et si l'on rentre dans les détails, quel est l'argument simple de combinatoire. (les polynômes peuvent de décomposer de nombreuses manières dans les sous-corps qui peuvent être nombreux).

Justement : il est décevant que la preuve des corps finis (donc de structures sur des ensembles finis) repose indirectement sur l'axiome du choix. La seconde preuve consiste à réaliser les corps finis comme corps de rupture d'un polynôme irréductible de degré n. Encore faut-il qu'il en existe. Je me rappelle qu'il existe une preuve combinatoire, mais je ne l'ai pas en tête. E

Je partage ton opinion. Ce n'est pas Zorn qui me gène le plus mais le fait que le théorème suppose déjà les extensions construites, donc ce que tu cherches à démontrer. La première preuve n'a donc pas de sens, la deuxième n'en fait que dans la mesure ou tu admets connu la construction des corps de rupture et plus important que tu développe l'argument simple (pour moi plus complexe que toutes les démonstrations déjà présentées). JLW

De façon générale, j'ai voulu mettre en évidence que l'existence des corps finis ne repose évidemment pas sur la théorie de Galois. La preuve même que le "groupe de Galois" de l'extension soit Z/nZ ne repose pas elle-même sur la théorie de Galois. On n'utilise pas la théorie de Galois, on la vérifie à la main dans ce cas. E

Tu proposes une philosophie (Je ne pense pas que renvoyer un lecteur à un article qui le renvoie à un autre article qui lui-même pointe vers un autre article) qu'il est selon moi, impossible de suivre dans un article de cette complexité. Tu t'empresses d'ailleurs de ne pas la suivre, tu ne démontres pas, par exemple,&) Steinitz = existence d'une clôture algébrique 2) l'existence d'un polynôme minimal de degré n, 3) que quotient de l'anneau des polynôme par un idéal premier est un corps,4) que le polynôme X^d - X est séparable,5) l'existence d'un élément d'ordre l'exposant du groupe dans le cas abélien,6) le nombre de racines d'un polynôme sur un corps quelconque, j'en passe et des meilleurs. Le problème se pose largement plus si la philosophie doit s'étendre à tout l'article.

Tu souhaites démontrer l'existence par deux voies: Steinitz ce qui est absurde car Steinitz suppose déjà résolu la question de l'existence des corps de décompositions et donc ce que tu cherches à démontrer. Ensuite, tu proposes une démonstration manuelle qui se fonde sur un article de trois pages largement plus subtiles que celle que tu estimes devoir redémontrées et un raisonnement que tu déclares être simple mais que tu as oublié, et qui est loin d'être simple àmha.

Le coût de l'opération:

Une structure explosée qui rend incohérent et incompréhensible l'article.

Des liens explosés soit anciennement vers les démonstrations complètes au profit de démonstrations partielles (cf le caractère cyclique du groupe multiplicatif), soit en utilisant des arguments plus complexes que précedemment comme l'utilisation de Bézout sans aucun intérêt théorique, soit Lemme de Gauss qui n'a rien à voir. Soit des liens qui pointent vers des d'articles qui n'existent pas mais qui deviennent indispensables à la compréhension comme clotûre algébrique.

Des imprécision de langage, tu parles de l'extension K de F_p au lieu d'une clôture algébrique, de polynôme simplement scindé (sans explication et sans référence à ce dont tu parles) alors que l'expression séparable est l'expression mathématique exacte et est défini dans WP. L'homomorphisme est défini sur un module et non un anneau sur les anneaux on parle d'endomorphisme et dans le cas de corps d'automorphisme (ici est seulement traité le cas du corps et était traité ce qui est indispensable et spécifique au corps, donc avec peu de doublon sur l'article associé).

Après les corps premiers, les démonstrations n'ont essentiellement plus de sens, pas plus celle du début pour les raisons déjà cités que celles de la fin qui maintenant ne s'appuient plus sur une construction logique.

Pardonnes une aggressité injustifée de ma part, mais voir des heures de boulot transformés comme cela me rend fou.Jean-Luc W 8 février 2007 à 11:40 (CET)

Jean-Luc W 8 février 2007 à 01:24 (CET)

Les ajouts de rang 2 sont de moi. Ekto - Plastor 8 février 2007 à 09:11 (CET)

PS: Existence: Soit d = pⁿ, et K le corps de décomposition de X^d -X sur F_p. Son groupe de Galois est engendré par Frobenius car les points fixes sont le corps premier, l'extension est galoisienne, le groupe de Galois est de dimension n, donc K est de dimension n.

Je fais juste une intervention rapide, je reste sur me politique de réserve sur cet article en attendant de voir ce que vous allez en faire :

votre petite incompréhension sur théorie deGalois vient de ce que vous ne parlez pas de la même chose, pour Jean-Luc W, c'est le théorie des corps, pour Ekto, cela commence à la correspondance. Comme j'ai déjà eu l'occasion de le dire, je préfère la seconde position.
pour les démonstrations, je suis pour le principe une démo une seule fois dans l'encyclopédie, appliqué souplement. Typiquement, la démo que les seuls Z/nZ qui sont des corps sontpour p premier, ne devrait pas apparaître ici pour moi, mais dans un article Anneau Z/nZ. Globalement, l'impression que j'ai eu est que cet article a trop enflé et devra être coupé, avec des éléments mis ailleurs s'ils n'existent pas déjà. Le but étant de ne pas faire une myriade de petits cours indépendants les uns des autres.Salle 8 février 2007 à 10:26 (CET)

Mon incompréhension, c'est la destruction de la logique de l'article au profit de deux démonstrations foireuses (cf Corps fini#Cloture algébrique et Corps fini#corps de rupture,pour la première admettre la clôture algébrique, c'est admettre l'existence de toutes les extensions finies (donc ce que l'on cherche à démontrer),pour la deuxième, la preuve par un polynôme minimal que l'on ne sait pour l'instant pas trouver n'a pas plus de sens. En revanche, le retrait des propriétés indispensables à la théorie comme le caractère abélien du groupe multiplicatif, ou les invariants de Frobenius flanque le reste par terre. Jean-Luc W 8 février 2007 à 11:48 (CET)
Pour les démonstrations elles sont déja toutes dans groupe abélien de type fini, l'article est relativement complet

Globalement l'article est trop vaste, de plus il manque les applications, il faudra bien se diriger vers un article plus math et un article général.Jean-Luc W 8 février 2007 à 12:00 (CET)

j'arrive un peu en retard sur l'affaire mais ne puis m'empêcher d'y verser mon grain de sel : "l'auto-suffisance" des articles est nécessaire autant que faire se peut. Elle ne demande certainement pas une redite des démonstrations. Simplement il faut réénoncer les faits supposés connus. Dans le cas présent : rappeler "Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier" (avec lien) et ne certainement pas le redémontrer, etc...

quand on a affaire à un article à structure logique forte comme ici, les modifications locales peuvent vite virer au désastre global : il est difficile de continuer sur le travail de quelqu'un d'autre. Sauf pour rectifier quelque chose qui ne marche pas, je pense qu'il vaut mieux s'accorder sur les modifications a priori sur les pages de discussion, afin de peser les éventuels dégâts collatéraux. Peps

Merci, Peps. Nous partageons le même point de vue. Si, pour construire des articles plus avancés dans l'histoire des mathématiques, comme, par exemple celui là, j'ai d'abord passé beaucoup de dizaines d'heures à écrire les articles de base sur lequel s'appuyer, c'est évidemment avec frayeur que je vois une intervention maladroite. En revanche, mon coup de sang n'est pas justifié. Je dois donc des excuses sur la forme à Ecto - Plastor. Deux idées sont défendables et montre une faiblesse de l'article. L'existence et l'unicité d'un corps fini de cardinal une puissance de p apparait mal dans ma contribution. De plus, le terme de Théorie de Galois prête à confusion. Avec plus de coordination, on devrait pouvoir arriver à quelque chose de bien. Jean-Luc W 9 février 2007 à 15:20 (CET)

[modifier] Réponse D'Ekto-plastor

Houlà, qu'est-ce que c'est que toutes ces critiques ? Gloups.

Polynôme simplement scindé signifie polynôme scindé à racines simples. Le vocabulaire s'utilise couramment, et me parait beaucoup plus simple que séparable.

Simplement scindé n'est pas dans WP, séparable l'est, est défini, référencé et les démonstrations associées présentes.

Je ne me trouve pas dans une bibliothèque de mathématiques. N'importe quel livre d'algèbre te montrera que ce vocabulaire est couramment employé.

Comme Salle l'a dit, pour moi, la théorie de Galois commence à la définition d'une extension galoisienne et à la correspondance entre sous-groupes et extensions intermédiaires. C'est exactement comme pour la théorie des revêtements.

Oui, c'est l'opinion de Salle, contredite par Hilbert, Frobenius et Jordan par le public que appelle corps de Galois un corps fini. Une autre définition existe et c'est celle explicité dans WP.

Certes. Ne parlons donc pas de dérivée en analyse mais de fluctante.

Globalement dans le plan. Il faut avoir accès rapidement à l'existence des corps finis. Cette .

Nous somme d'accord.

Je ne pense pas qu'on soit d'accord que le matériel que l'existence des corps finis demande.

Pour l'auto-suffisance des articles : chaque article évolue indépendemment des autres. Si j'ajoute un lien vers l'article alpha, c'est en pensant qu'il coule de source que l'argument doit s'y trouver. S'il ne s'y trouve pas, il suffit de l'ajouter sur l'article alpha et non de supprimer le lien.

Nous sommes d'accord sauf si la notion se trouve déjà dans WP à un autre endroit.

C'est justement là où nous ne somme pas d'accord.

Evidemment auto-suffisance ne veut pas dire de tout redémontrer ! La preuve que Z/pZ est un corps ssi p est premier doit se trouver dans cet article.

Tu dis que la preuve du caractère de corps de Z/pZ doit se trouver là. Ce n'est ni l'opinion de Salle ni celle de Peps ni la mienne. Quel argument proposes-tu pour soutenir ton opinion?

Bien. L'article est lu par un individu qui a oublié pourquoi. Que fait-il ? Où va-t-il chercher cette information ?

Par contre, le fait que le nombre de racines d'un polynome est inférieur à son degré est vrai dans un corps, j'insiste, et c'est connu : on peut vraissemblablement pensé que celui qui lira cet article le sait bien. Pour la preuve que X^{p^n}-X est à racines simples ou simplement scindé ou séparable, il suffit de calculer sa dérivée. Seulement, faute de temps, je n'ai pas donné en détails la démonstration. Je n'ai pas le temps de développer plus en avant mes arguments, je repasse ce soir.

Bien sur que le théorème sur les racines d'un polynôme est vrai dans un corps, c'est même une conséquence du lemme de Gauss. En revanche la question à laquelle tu ne répond pas est: Pourquoi une redite partielle de certaines démonstration et pas d'autres? quel critères utilisent tu? La phrase un argument simple de combinatoire n'est pas dans WP pourquoi dans ce cas la démonstration n'est pas nécessaire?

Si je rappelais que c'est vrai dans un corps, c'est au vu de tes modifications qui laissaient penser parfois le contraire. Evidemment, je n'aurais pas fait de remarque déplacée dans ce genre là si tu n'avais pas jugé quelques modifications.

Il est nécessaire de donner des redites pour que les lecteurs ne se sentent pas perdus. Tout le monde ne fait pas de la recherche en algèbre et celui qui en fait n'a certainement pas besoin de lire cet article. Pouvoir se raccrocher à du connu permet au moins de rebondir. Un article excellent est un article qui peut être compris du plus grand nombre.

Globalement, on a des divergences de point de vue sur ce que doit contenir un article de mathématiques. On a aussi des divergences d'opinion sur la communication, le sens des termes, la manière de rédiger, l'encadrement d'un article, la présentation des idées, ...

Le coeur du débat n'est de toute manière pas de savoir s'il faut houblonner la preuve que Z/pZ est un corps. Mais la raison de l'explosion de la structure de l'article au profit d'un apport de deux démonstrations dont l'une est absurde (Steinitz) et l'autre absente. Cela justifie-t-il de rendre un article incohérent? et cela sans concertation? Jean-Luc W 9 février 2007 à 19:06 (CET)

Incohérent. Avant ma toute première modification, l'article était complètement incohérent. Mais on ne me laisse pas le temps de terminer. On me saute dessus. Je ne suis pas payé pour contribuer : les contributions passent après le reste.

Ekto - Plastor 9 février 2007 à 17:41 (CET)

[modifier] Proposition

La tournure qu'a pris l'article me déplaît : d'abord et surtout, beaucoup de redites et des enchaînements logiques pas clairs. De manière secondaire, je me demande quelle pertinence ont certains commentaires pédagogiques. Je vous propose une version, en cours de rédaction, sur ma page de brouillon. Il y a eu beaucoup de coupes, je rétablirais peut-être certains passages, mais pas le temps maintenant. J'aimerais surtout que Jean-Luc W me dise si la structure logique ne comporte pas d'erreur : je sors un lapin du chapeau sur les polynômes cyclotomiques pour la démo de l'existence et l'unicité des corps finis, et je ne suis pas complètement persuadé que cela marche.

S'il n'y a pas d'erreur, je préconise lourdement qu'on tende vers quelque chose dans ce style plus ramassé sur la théorie de base.Salle 9 février 2007 à 18:57 (CET)

sur un sujet potentiellement aussi dense et enchevêtré c'est bien d'avoir des enchaînements logiques très apparents, et une structure très ramassée. Du coup en fin d'article, on les a bien présents en tête. Les liens permettent de partir dans différentes directions, mais hop on a le coeur de la théorie en tête. Donc, pour le style, j'aime beaucoup.

pour le contenu, je ne suis pas assez calé pour être fiable (et puis j'ai dû interrompre la lecture plusieurs fois pour chasser les cauchemars de mon cadet :) ). Mais sauf erreur, ça justifie seulement l'unicité du corps fini de cardinal p puissance n puisque tu commences par "soit un corps de cardinal...". Ou alors j'ai loupé un passage ? Peps 9 février 2007 à 22:15 (CET)

Quelques petites erreurs et omissions, sinon pour le style il me va très bien, je propose cette version Utilisateur:Jean-Luc W/Brouillon. Je partage l'opinion de Peps et propose un autre lapin encore plus agile volé à ce bon Madore. Jean-Luc W 10 février 2007 à 00:16 (CET)

Après accord de Peps, de Salle et de moi même j'intègre la nouvelle version. (les points soulevé par Peps sont maintenant corrigés). Personnellement je partage l'analyse de Peps, une solution courte élégante et bien senti, avec des enchaînements logiques très apparents, c'est la classe. Jean-Luc W 10 février 2007 à 11:51 (CET)

[modifier] Explication

Le plan que je conseille est le suivant : on commence par des exemples (ce qui est fait et bien fait), puis on continue sur l'existence et l'unicité, ensuite la théorie de Galois, ensuite c'est à discuter. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Discuter:Corps_fini&action=edit&section=7 Ekto - Plastor 9 février 2007 à 20:37 (CET)

[modifier] Clôture algébrique

L'existence de la clôture algébrique ne dépend pas de l'existence des corps de rupture et des corps de décomposition (bien que l'une implique l'autre, elles peuvent se démontrer séparément).

Pour un corps K quelconque, on considère la K-algèbre commutative A engendrée par les polynômes sur K de degré positif et de coefficient constant non nul. Les éléments P(P) (le polynôme P appliqué à P vu comme élément de la K-algèbre A) ne sont pas inversibles ; moyennant l'axiome du choix ils sont contenus dans un idéal maximal I ; et le quotient A/I est une extension de K, telle que tout polynôme sur K y admette une racine. Le corps construit n'est pas algébriquement clos mais en itérant la construction un nombre dénombrable de fois, on obtient une séquence d'extensions (K_n) telle que K_n+1 contienne toutes les racines des polynômes à coefficients dans K_n. La réunion K est un corps algébriquement clos. Son plus petit sous-corps algébriquement clos contenant K en est sa cloture algébrique.

Plus simple dans le cas qui nous intéresse, on introduit le sous-anneau A de C contenant toutes les racines de l'unité. Son quotient par un idéal maximal contenant pA est une cloture algébrique de F_p.

En mathématique A/I s'appelle un corps de rupture et la réitération est une opération qui débouche sur ce que l'on appelle un corps de décomposition (????)

De quel polynôme A/I serait le corps de rupture ? Evidemment, je ne dis pas que c'est un argument miraculeux, on court-circuite, simplement. Ekto - Plastor 9 février 2007 à 21:54 (CET)

I est un idéal maximal dans un anneau euclidien, il est donc engendré par un élément premier en l'occurrence un polynôme P[X] irréductible, par définition A/I est le corps de rupture de P[X].

Quel anneau euclidien ? Ekto - Plastor 9 février 2007 à 22:23 (CET)

Ekto - Plastor 9 février 2007 à 20:37 (CET)

La construction que propose Ekto - Plastor me semble être trop sophistiquée pour un article sur les corps finis. La construction plus classique soutenue par Jean-Luc et moi me paraît plus classique, et plus élémentaire.Salle

Non, il y a deux constructions ci-dessus. La première était pour l'article sur la clôture algébrique. Je l'ai donnée pour signaler qu'on pouvait se passer en apparence des corps de décomposition. Je "doute" qu'une K-algèbre de polynômes ayant une infinité de variables soit un anneau euclidien. Ekto - Plastor 10 février 2007 à 12:31 (CET)

Si mes souvenirs sont bons, pour montrer que l'idéal engendré par les P(P) n'est pas l'idéal unité, on doit passer par l'existence des corps de décompositions.Liu (d) 13 avril 2008 à 02:06 (CEST)

C'est la raison de la position de Salle et moi même, on arrivait pas à imaginer une démonstration de l'existence d'une clôture sans l'usage d'un corps de décomposition. Jean-Luc W (d) 13 avril 2008 à 13:03 (CEST)

[modifier] Existence

A partir de là, on obtient le corps fini de cardinal p^n comme l'ensemble des zéros de X^{p^n}-X. Il y en a exactement p^n puisque ce polynôme est scindé (le corps est algébriquement clos) et à racines simples (il est premier avec son polynôme dérivé). L'analyse du morphisme de Frobenius montre que l'ensemble des racines forme effectivement un corps de cardinal donc p^n. Ce corps contient comme sous-corps F_p^k pour k divisant n.

Pas besoin pour autant de la correspondance de Galois pour l'affirmer : on le constate puisque X^{p^q}-X divise X^{p^n}-X ssi q divise n. Rien d'autre, pas besoin de sortir l'artillerie lourde !

A posteriori, on pourra démontrer la correspondance de Galois à la main, une fois établi que le groupe des automorphismes de corps de F_p^n sur F_p est ...

Ekto - Plastor 9 février 2007 à 20:37 (CET)

[modifier] Correspondance de Galois

Le Frobenius donne un automorphisme d'ordre n de F_p^n sur F_p. Car sinon, les p^n éléments seraient racines d'un polynôme de degré p^k avec k inférieur à n, ce qui est absurde.

F_p^n^* est cyclique. Si a est l'élément qu'il engendre, un automorphisme g est donné par l'image g(a). Mais g(a) doit être une racine du polynôme minimal de a qui est de degré au plus n. Donc il y au plus n automorphismes. Du coup, il y en a exactement n, et le groupe de Galois est donc cyclique engendré par le Frobenius. Du même coup, le polynome minimal de a est de degré exactement n.

La correspondance de Galois se démontre directement. Pour k divisant n, les points fixes de la k-ième puissance du Frobenius sont exactement par définition l'ensemble des racines de X^{p^{n/k}}-X, soit par définition encore le corps fini F_p^{n/k}. Le groupe de Galois de F_p^n sur F_p^{n/k} est exactement le groupe engendré par le frobenius, soit donc cyclique d'ordre k et s'obtient comme le quotient de Z/nZ par Z/(n/k)Z.

9 février 2007 à 20:37 (CET)

[modifier] Existence des corps finis

Pour l'existence des corps finis, je proposais de les définir comme des corps de rupture de polynômes irréductibles de degré n sur F_n. Je dis bien corps de rupture et non corps de décomposition.

Il existe mille et une manière de démontrer l'existence de polynômes irréductibles en chaque degré.

Je pense que l'argument auquel pense(rait) JLW est la réduction des polynômes cyclotomiques. La réduction du k-ième polynome cycltomique modulo p est le produit de polynômes irréductibles de degré l'ordre de p dans (Z/kZ)^*. En prenant k=phi_n(p), on montre sans difficulté que l'ordre de p divise n mais ne peut pas diviser aucun diviseur strict de n ; il est donc égal à n.

La réduction des polynômes cyclotomiques suppose l'existence d'un unique corps fini de dimension n, c'est un argument sur son cardinal et le cardinal de ses sous-corps qui en détermine le degré et le nombre. Je ne penserait jamais à cela. L'argument que je comptais utiliser dans la première version était que le corps de décomposition de X^q - X est un corps de cardinal q, comme je l'ai dit plus haut et comme je l'ai rédigé sur ma page de brouillon.

Le second argument consiste à dénombrer les polynômes à partir des polynômes irréductibles (argument combinatoire). Tout polynôme est produit de polynômes irréductibles et le produit est unique à l'ordre près des facteurs. Supposons par l'absurde qu'il n'y ait pas de polynômes de degré n. Chaque polynôme de degré exactement n s'écrit alors comme un coefficient non nul que multiplie le produit de polynômes irréductibles unitaires de degré inférieur à n-1. En retirant le polynôme de degré minimal du produit, on obtient un polynôme de degré <n-1. Cette association définit une injection de l'ensemble des polynômes de degré n dans l'ensemble des polynômes de degré au plus n-1. De fait cela implique :

$p^n-1\leq2.(p^{n-1}-1)$

ou encore :

$p\leq 2-1/p^{n-1}<2$

J'ai du mal à comprendre. Pour toi il n'y a que deux polynômes unitaires de degré minimal possible? Rien que pour ceux de degré 1, j'en compte p sans compter les autres, ce qu'à priori j'ai du mal à faire. Ton application induit une injection entre des couples dont le premier élément est un polynôme minimal de plus petit degré et le deuxième élément la division du premier polynôme par son polynôme minimal de plus petit degré. J'ai de toute manière du mal à comprendre, je compte (p-1).pⁿ polynômes de degré n je ne comprend donc pas le terme de gauche, et guère plus celui de droite.

Moi non plus je ne comprends pas, mais ça a l'air de pouvoir fonctionner. Veux-tu le rédiger correctement ?Salle

Il existe des tas d'autres arguments en tout genre. Mais l'argument combinatoire est mon préféré : les preuves les plus courtes sont toujours les meilleures.

Le dénombrement des polynômes irréductibles est fait dans l'article, il suppose la structure connue, et quand on voit le résultat on comprend pourquoi une démonstration sans connaissance de la structure est osée. Jean-Luc W 9 février 2007 à 22:47 (CET)

Ekto - Plastor 9 février 2007 à 21:52 (CET)

[modifier] En attendant

Je vais aller travailler sur un autre article. Au déplaisir. Ekto - Plastor 9 février 2007 à 21:59 (CET)

[modifier] Modif

Voilà, je pense qu'on est tous d'accord pour dire que l'article actuel part dans tous les sens. Une version de remplacement est disponible, Jean-Luc W et moi sommes d'accord dessus, et je l'ai invité à faire le remplacement, parce qu'il a plus de recul que moi. Ekto - Plastor sera satisfait au moins sur le point suivant : on commence par des exemples (ce qui est fait et bien fait), puis on continue sur l'existence et l'unicité, ensuite la théorie de Galois, ensuite c'est à discuter. Son argument combinatoire pour l'existence de polynômes irréductibles de tout degré est intéressant, et mérite à mon sens de voir son existence mentionnée, comme alternative.Salle

Pour l'argument combinatoire, je partage votre opinion à tous deux, s'il est juste. Cependant je maintiens qu'une telle approche, sans connaissance de la structure n'est pas simple. Jean-Luc W 10 février 2007 à 11:58 (CET)

Satisfait ? Plus que satisfait : si tu lis mes commentaires, c'est exactement vers ce genre de plan que je voulais me diriger ! Pour preuve, l'historique. Merci. Le texte comporte cependant des erreurs (déjà de frappe) qu'il faudra corriger.

Pour l'argument combinatoire, il ne s'agit pas de dénombrer le nombre de polynômes irréductibles de degré n mais de prouver que ce nombre est supérieur à 1. Evidemment, sans l'existence des corps finis, il est difficile de donner une formule exacte qui soit exploitable, mais toutefois une estimation est possible. L'argument est un argument par l'absurde : sans polynôme irréductible de degré n, il n'exite pas suffisamment de polynômes irréductibles de degré au plus n-1 pour générer tous les polynômes de degré exactement n. (Par contre, il faut que je retrouve l'argument exact : l'argument ci-dessus est un peu foireux car l'application n'est pas injective ; mais ceci ne signifie aucunement qu'un tel argument n'existe pas ; il s'agit d'évaluer le nombre de possibilités de casser un polynôme divisible de degré exactement n de manière intelligente.)

Mais je maintiens que chaque article doit rester autant que possible indépendant des autres. En particulier, cet article sur les corps finis doit être indépendant de l'article sur les groupes abéliens de type fini. Chaque article évolue indépendemment et il faudra réviser la présentation un peu étroite des groupes finiment engendrés et des groupes abéliens (voir le message que je vais poster sur l'article correspondant).

Enfin, j'aimerais qu'on évite d'exprimer du mépris. Je reconnais que je peux avoir un sale caractère parfois (souvent?), mais je ne supporte pas de me sentir attaqué.

Ekto - Plastor 10 février 2007 à 13:49 (CET)

[modifier] Existence d'un polynôme irréductible de degré n sans utiliser l'existence des corps finis

La preuve est adaptée d'une preuve similaire de l'infinité des nombres premiers. Soit $C (d)$ le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré exactement ^d. Comme chaque polynôme unitaire se décompose comme produit de facteurs irréductibles unitaires unique à l'ordre près des facteurs, on a :

$\frac{1}{1-pT}=\sum_{n\geq 0}p^n T^n=\prod_P\sum_{k=0}^{\infty} T^{k.deg(P)}$

où le produit porte sur tous les polynômes irréductibles unitaires. De fait, il vient :

$\frac{1}{1-pT}=\prod_{d=1}^{\infty}\frac{1}{(1-T^d)^{C(d)}}$

Par dérivation logarithmique, on obtient :

$\frac{p}{1-pT}=\sum_{d=1}^{\infty}\frac{dC(d)T^d}{1-T^d}$

A nouveau par développement en séries formelles :

$\sum_{n\geq 1}p^nT^n=\sum_{d\geq 1, n\geq 1}C(d)dT^{dn}$

Par identification des coefficients, on obtient donc :

pⁿ =	∑	dC(d)
	d \| n

Cette identité pourrait être retrouvée une fois établie l'existence des corps finis, ce que je n'ai pas supposé ici. Par inversion de Mobius, on trouve :

dC(d) =	∑	μ(r)p^r
	r \| d

Cette formule n'est pas exploitable pour calculer explicitement le nombre de polynômes irrécuctibles de degré d. Certes, mais on peut faire l'estimation suivante :

$dC(d)\geq p^r-\sum_{k=0}^{d-1}p^k=\frac{p^{d+1}-2p^d+1}{p-1}>0$

Ce qui prouve qu'il existe au moins un polynôme irréductible de degré d. Son corps de rupture donne un corps fini à $p d$ éléments.

(Remarque : il existe encore un argument combinatoire plus simple, qui évite les séries et produits formels, mais je n'arrive plus à le formuler exactement : mais l'idée est la même, si C(d) est nul, il n'y a pas assez de polynômes irréductibles pour fabriquer les polynômes de degré d.)

Ekto - Plastor 10 février 2007 à 16:39 (CET)

Je n'ai pas tout de suite répondu parce que week-end, et qu'après le week-end, tu avais migré sur un autre article, et qu'en première lecture, je n'ai pas compris la première identité. Même là, concentré, j'ai mis un peu de temps. C'est sûr que c'est intéressant, et il faut trouver un moyen de dire que ça existe ; on peut parler d'un argument combinatoire (j'éviterais le mot simple) permettant de montrer l'existence de polynômes irréductibles de tout degré et dire que cela permet de faire certains bouts de la théorie différemment. Pour la preuve, une boîte déroulante ?Salle 15 février 2007 à 19:43 (CET)

[modifier] Paragraphe à revoir

« Elle a permis à Gauss (1777, 1865) utilisait[6] de démontrer la loi de réciprocité quadratique »
« Le petit théorème de Fermat et un exemple archétypal. » "est" ?

--Christophe Dioux 28 septembre 2007 à 22:25 (CEST)

[modifier] Corps de Galois et théorie de Galois

J'allais corriger l'introduction de cet article quand je me suis rendue compte qu'une discussion avait lieu sur la question, sans solution apparemment (?). Je vois que cela excite beaucoup de passions, donc je mets mes remarques ici en attendant l'approbation.

Il ne faut pas confondre théorie de Galois et théories ou résultats ou concepts dus à Galois. Il est parfaitement exact que l'expression corps de Galois désigne les corps finis à la fin du 19e siècle. Mais ce qu'on appelle en mathématiques actuelles théorie de Galois est la théorie (initiée par certains travaux de Galois sur les équations algébriques) dont le ressort est d'étudier les racines d'équations algébriques (ou de façon plus actuelle les extensions de corps qu'elles engendrent) à l'aide du groupe de leurs permutations. Cette correspondance est le résultat central et fondateur de la théorie-de-Galois (en un seul mot, si j'ose dire). Voir tous les livres appelés Galois theory (dans n'importe quelle langue).

Les corps de Galois sont en fait introduits lorsque Galois (suivant en partie Gauss) propose d'adjoindre des sortes de racines complexes pour étudier les équations en congruences : en termes modernes, cela revient à étudier les extensions des corps premiers $Z / p Z$ , donc les corps finis. Le point de vue de Galois est très bien raconté et illustré sur des exemples dans le traité d'algèbre de Serret, par exemple, le best-seller de l'algèbre française au milieu 19e (et en ligne, vive Gallica).

Je suggère donc d'enlever l'allusion à théorie de Galois dans l'introduction, pour mettre algèbre, et éventuellement réintroduire Galois, les corps de Galois (et Gauss) dans la partie histoire. A ce propos, la section 8 des Disquisitiones contient une théorie à peu près complète des résultats de base sur les corps finis (présentés sous l'aspect des congruences polynomiales), y compris l'automorphisme de Frobenius. Cette section n'a jamais été publiée du vivant de Gauss, mais est dans ses oeuvres complètes. Le développement de tout cela est expliqué dans un article de G. Frei publié dans The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones, Springer, 2007.

Cordialement --Cgolds 10 octobre 2007 à 10:12 (CEST)

Il est effectivement fort probable qu'un amalgame entre deux contributions de Galois ayant mené chacune à une expression honorant Galois (corps de G. et théorie de G.) soit à l'origine de la mention de la th. de G. dans l'introduction. Pourtant la phrase de l'intro n'est pas vraiment fausse car cette théorie est parfaitement applicable aux corps finis (et je crois de manière utile), la situation étant particulièrement simple (groupes cycliques ...) C'est pourquoi, avant de modifier l'intro, je propose d'entendre encore l'avis de quelques autres wikipédiens--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 22 novembre 2007 à 09:55 (CET)

En fait, j'espère ne pas trahir l'idée que défend Jean-Luc, cela ne provient pas d'une confusion, mais de ce qu'il appelle théorie de Galois la théorie des corps commutatifs. Le bilan, c'est que je pense aussi qu'on peut enlever théorie de Galois ; je ne le fais pas moi-même parce que je n'ai pas envie de profiter de son absence pour faire avancer mon point de vue au détriment du sien ; mais cela ne signifie pas que vous deviez prendre forcément les mêmes précautions. Salle (d) 22 novembre 2007 à 11:11 (CET)

[modifier] Réponse de Jean-Luc

Non, il n'y a pas eu d'amalgame, la première utilisation du terme de corps de Galois est l'oeuvre de Moore dans un article de 1893. Je ne crois pas qu'il ait eu connaissance de la contribution de Galois sur les corps finis (il n'en parle pas et n'en fait pas référence). En revanche il se fonde et cite les travaux de Jordan de 1870 sur la théorie de Galois. Cette discussion, ainsi que d'autres points de l'article ont été soulevé par Pmassot, je copie ici notre échange :

[modifier] Opinion de Pmassot

Tout d'abord il me semble clair que le travail effectué sur cet article est déjà remarquable. Je n'ai pas vérifié les détails des exemples mais je suis assez confiant. Cependant l'article devrait être beaucoup plus accessible au début.

Pour moi l'introduction devrait commencer par quelque chose comme : « En mathématiques, un corps est un ensemble muni d'une opération d'addition et d'une opération de multiplication dont les propriétés formelles sont analogues à celles de opérations usuelles. Cet article est consacré aux corps dont le nombre d'éléments est fini, par exemple le corps... (tableau de multiplication de F_2) ».

Je partage ton opinion. L'introduction est trop aride et vise un publique trop averti. Tu supposes que le lecteur ne connait pas la notion de corps, je n'aurais pas été aussi loin, cependant ta position est à mes yeux au moins aussi défendable que celle que j'imaginais et en tout cas clairement meilleure que l'existant.

Au passage je ne suis pas d'accord avec les mots « dans la branche de la théorie de Galois » qui me semblent très réducteurs (sauf à donner un sens très très vaste au terme théorie de Galois). De même la phrase « La théorie des codes correcteurs est maintenant considérée comme une branche de celle des corps finis. » me semble inutilement polémique.

Voilà notre unique point de désaccord. Depuis l'article de 1893 de Moore, initialisant la théorie des corps finis (si l'on néglige les ébauches de Gauss et Galois) la théorie de Galois, ou plus exactement celle que de nombreux auteurs appellent la théorie classique de Galois (cf Jean-Pierre Ramis dans sa page de présentation ou encore Secherre Institut Mathématique de Luminy) est l'étude des extensions finies des corps. Cette vision de la théorie de Galois est maintenant très largement enseigné (cf [Kraus Jussieu ou encore mathématiques.net). L'idée que la théorie de Galois soit l'étude d'un groupe de permutations de racines pour la démonstration du théorème d'Abel est obsolète depuis 1870 avec les travaux de Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques, qui prend pour exemple introductif à la théorie le petit théorème de Fermat sur un corps premier. Elle a néanmoins la vie dure.

Il me semble que toute la partie purement mathématique sur la construction devrait venir après les applications qui ne nécessitent que l'existence de F_q. La construction proposée est intéressante mais je pense possible de commencer par la construction lapidaire supposant construite la cloture algébrique de F_p qui convainc beaucoup plus vite de l'existence de F_q et donne une bonne intuition (ne serait-ce qu'à cause de la façon dont on introduit les nombres complexes dans le secondaire), même si elle ne satisfait sans doute ni les constructivistes ni les tenants d'une approche la plus élémentaire possible et qu'elle est insuffisante pour les calculs concrets.

C'est un peu l'idée existante même si elle n'est pas suffisamment didactique. La construction se fait à l'aide du corps de décomposition du polynôme X^d - X comme pour le polynôme X² + 1 pour la construction des complexes. L'approche se veut lapidaire, trois lignes suffisent, car le gros de la technique est développée dans l'article associé. Pour être un minimum exhaustif et cohérent, cela a donné le résultat que tu as sous les yeux. Je ne parlerais pas de clôture algébrique car elle sous entend que tous les polynômes sont scindés ce qui suppose de plus une convergence d'une suite de corps emboités. La vraie solution, à mes yeux consisterait plutôt à reléguer les développements mathématiques dans un autre article. La partie histoire est bien peu développée, la partie outil devrait être vulgarisée et la partie utilisations soit en maths pures avec l'arithmétique et la géométrie algébrique, soit en maths appliqués avec la cryptographie ou l'informatique, devrait devenir largement plus consistante. L'article risque alors de devenir trop batard et une division en deux, pour des publiques différents me semble nécessaire.

Je ne suis pas sûr de comprendre en quel sens la géométrie arithmétique est une application de la théorie des corps fini. Il est évident que les corps finis apparaissent partout en arithmétique mais je n'aurais pas employé le mot application. Par ailleurs je veux bien essayer de remplir ce paragraphe si les contributeurs principaux ne sont pas en train de bosser dessus. Je pense que je pourrais écrire quelques lignes sur les inégalités de Weil qui donneraient une assez bonne idée de la chose.

Nous somme encore d'accord, le terme exact me semble plutôt utilisations qu'applications. Personne ne travaille dessus, tu peux y aller tranquillement. J'imaginais le faire un jour, mais uniquement après avoir développés les articles clés de géométrie algébrique pour permettre une compréhension réelle pour les curieux. Cette approche m'est personnelle, l'ordre inverse est à mon sens tout aussi justifié.

Je termine en rappelant ma première phrase : bravo ! Pmassot 9 octobre 2007 à 10:16 (CEST)

Merci pour ton compliment. Jean-Luc W 25 octobre 2007 à 15:48 (CEST)

[modifier] Quelques informations

Je voudrais essayer d'éclaircir certains points. C'est du travail inédit, , et je promets de ne pas le mettre dans un article, mais bon, vous pourrez aller regarder les références. L'article de Moore mentionné par Jean-Luc W est en ligne gratuitement (comme l'ensemble du Bulletin of the New York Mathematical Society, il suffit de le demander sur google) ; autre chose utile, le Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik est aussi en ligne gratuitement, avec des liens aux articles s'ils existent en ligne. Il suffit d'y demander 'Galois field', 'corps de Galois', etc. pour y voir sortir ce qui suit.

Dans son article, Moore démontre qu'un corps (Körper) fini est un corps de Galois (Galois field), ici corps de Galois veut dire exactement 'corps galoisien'. L'expression 'corps de Galois' figure avec ce sens-là par exemple aussi dans la traduction française du Rapport sur les nombres de Hilbert et dans plein d'autres endroits. Ici, donc, 'corps de Galois' est bien attaché à la théorie de Galois, mais il n'est pas synonyme de 'corps fini'. On trouve ensuite en littérature américaine (c'est un thème privilégié aux USA au début du 20e siècle, en particulier à cause de Dickson) beaucoup de choses sur 'les corps de Galois d'ordre ceci et cela' (Galois fields of order p, p^2, etc.). Là encore, 'corps de Galois' n'est pas synonyme de corps fini (mais on commence à entrevoir ce qui va se passer, n'est-ce pas, cela commence à se concaténer...;).

Pour fixer les idées, Weber à peu près en même temps que Moore parle quant à lui de Congruenzkörper pour les corps finis (ce qui est conforme au contexte du travail de Gauss, Galois, etc. sur cette question). Je n'ai pas suivi en détail ce qui se passe du côté allemand, mais une chose vraiment intéressante et amusante est que les italiens (Scarpis) et les français (de Séguier) dans l'entre-deux-guerres se mettent à utiliser l'expression 'champ de Galois ' (ou 'campo di Galois') pour désigner un corps fini. Donc tout se passe comme s'ils importaient une expression de l'anglais (ils citent surtout les américains d'ailleurs), cette fois en traduisant 'field" par champ au lieu de corps (parce que justement 'corps de Galois' existe déjà dans ces langues pour dire 'corps galoisien').

Il resterait pour vraiment comprendre cette évolution (qui n'est donc pas commune à toutes les langues) à suivre comment 'champ de Galois' est abandonné au profit de 'corps de Galois' (pour désigner cette fois un corps fini) tandis que l'expression nécessaire en théorie de Galois devient 'corps galoisien'. Je peux retracer cela si cela vous amuse à l'occasion (moi oui, un peu, mais bon, de gustibus...). Amitiés, --Cgolds (d) 22 novembre 2007 à 22:28 (CET)

Plusieurs remarques sur le travail de Cgolds : tout d'abord, il confirme l'absence de confusion entre les travaux de Galois sur les corps finis (l'article de 1830, analysée par exemple par Alain Connes) et légitime le placement des corps finis dans la théorie de Galois. En revanche, ce placement choque Cgolds, Pmassot, Salle et Ulyssse. Soit il est mal justifié, soit il est trop polémique pour pouvoir être maintenu. Cgolds remarque ailleurs que les corps finis sont aussi étudiés en mathématiques appliquées, dans le cadre de la théorie de l'information. Dans ce contexte, la référence à la théorie de Galois est une complexité inutile.

Ensuite, cette identification entre la théorie des corps commutatifs et celle de Galois perd sa raison d'être avec le temps. Les travaux, par exemple de Grothendieck étendent la théorie entre autre à la géométrie. La théorie de Galois continue à contenir les extensions finis mais devient plus vaste. L'article associé : théorie de Galois n'est pas suffisamment clair à ce sujet. Salle a à mes yeux complètement raison dans cette affaire. D'autant plus que l'école de Chicago, dont fait partie Moore et Disckson, développe les corps non commutatifs, qui ne font pas partie de la théorie de Galois mais de celle des corps.

Enfin, il me semble clair que l'histoire des mots corps et champ doit être développée, même si le meilleur contexte me semble être celui de l'article corps et non pas corps fini. Jean-Luc W (d) 23 novembre 2007 à 09:16 (CET)

PS: Merci à Cgolds pour cet excellent travail et pour m'avoir indiqué les travaux de Galois sur les corps finis que je ne connaissais pas. J'avais suivi les travaux de l'école de Chicago et d'Allemagne à la suite de Jordan, mais ni la France ni l'Italie.

PPS: J'ai exactement la même lecture sur ces textes que Cgolds au petit détail technique que Moore ne montre uniquement le fait qu'un corps commutatif fini est une extension galoisienne d'un corps premier. Cgolds prend implicitement position sur le fait qu'un corps est nécessairement commutatif, convention choisie par Moore dans l'article mais pas toujours suivie en France. La remarque n'a pour objectif que de mentionner la subtile histoire de l'adjonction de la commutativité dans les axiomes d'un corps toujours acceptée dans la littérature anglaise et polémique en France. Jean-Luc W (d) 23 novembre 2007 à 09:38 (CET)

Tout à fait d'accord (chassez le naturel...), la convention sur la commutativité est importante et je l'avais gommé dans ce quej'ai écrit plus haut.

--Cgolds (d) 23 novembre 2007 à 13:24 (CET)

Cette différence de point de vue sur le terme théorie de Galois n'est pas à mon sens très importante, et je n'ai pas très envie de passer des heures à discuter pour savoir qui a raison. Je crois que le point d'achoppement est que tu essaies de dégager une vérité historique : pour toi, il faut appeler théorie de Galois ce qui ressort des travaux de Galois, c'est ça ? Alors que pour moi, j'essaie juste de faire coller l'emploi de cette expression à ce qui est mon usage de tous les jours : ce qui est Pov, au demeurant. A-t-on des textes, actuels, où il est dit : l'étude des corps finis est une branche de la théorie de Galois ? Typiquement, je viens de feuilleter très rapidement le chapitre consacré dans le bouquin de Demazure aux corps finis : je n'ai pas vu le mot Galois (il peut m'avoir échappé, j'ai fait ça en 15 secondes). En fait, pour moi, c'est vraiment une question d'usage : quelle que soit la vérité historique, si aujourd'hui on ne dit pas que l'étude des corps finis est une branche de la théorie de Galois, je trouve que l'accroche n'est pas justifiée.

Mais, encore une fois, il serait vraiment dommage de passer des heures sur ça, et ça ne me soucie pas qu'on le laisse. Cordialement, Salle (d) 23 novembre 2007 à 10:24 (CET)

Nous sommes d'accord, mon point de vue n'est pas plus défendable que le tien. On trouve en effet des cours ou les corps fini font parti de la présentation de la théorie classique de Galois. En maths on peut toujours tout trouver, cela me donne-t-il raison ? L'usage semble montrer que l'étude des corps finis est faite dans deux contextes : une présentation de la théorie classique de Galois et les mathématiques appliqués (en général sans référence à Galois) et un texte avancé présentant la théorie de Galois ne traite en général pas des corps finis (Cf Douady ou Grothendieck et probablement le Demazure). L'usage ne me donne que très partiellement raison. Mais n'y passons pas des heures. En revanche, les remarques de Cgolds sur la France et l'Italie me semble tout à fait intéressantes pour l'article sur les corps, ce qui mérite plus de temps mais n'est pas ma préoccupation du moment. Jean-Luc W (d) 23 novembre 2007 à 11:31 (CET)

[modifier] Une interrogation

Je ne vois pas bien à quelle démonstration élémentaire cette phrase : Elle peut aussi se démontrer en utilisant le fait que pour tout corps ( K , +, *) commutatif, tout sous-groupe fini de (K ^* , *) est un groupe cyclique. fait référence. Elle suppose de théorème de Wedderburn. Démontrer ce résultat sans élucider la structure du corps premier d'abord me semble bien étrange. Jean-Luc W (d) 17 février 2008 à 13:19 (CET)

L'ajout de IP ne me semble guère convaincante. Elle repose exactement sur le même raisonnement que celui présenté dans l'article anneau Z/nZ, ce n'est donc pas une démonstration différente, elle ajoute juste une complexité inutile dans ce contexte. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? comme disait les Shadocks.

Bon je défends mon ajout. Passer par les anneaux en utilisant un résultat des anneaux qui est vrai si l'anneau est un corps est me semble-t-il plus lourd que de passer par un résultat de corps, sans mentionner l'anneau. Mais sinon, oui en soit il y a de fortes chances que ce soit les mêmes idées. C'est juste que mon expérience m'a montré que souvent les gens démontrent des trucs de façon compliqué alors que l'utilisation de ce théorème résout bcp de choses. En gros je souhaitais citer ce théorème puissant et somme toute assez simple à montrer (une fois Wedderburn montré, qui lui est le gros théorème). Noky (d) 17 février 2008 à 18:50 (CET)

Néanmoins, il est clair que j'ai dit une bêtise. Le corps étant par définition choisi commutatif, point n'est besoin d'utiliser Wedderburn. Jean-Luc W (d) 17 février 2008 à 16:50 (CET)

Les démonstrations sont exactement les mêmes. Celles dans l'article corps est d'application plus générale, j'ai donc indiqué ce fait dans l'article Anneau Z/nZ pour que ceux qui souhaitent lire la démonstration puisse voir la remarque. Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 15:20 (CET)

[modifier] Une autre interrogation + une opinion

L'opinion d'abord : je fais parti de ceux que la branche de la théorie de Galois titille. L'interrogation : la remarque sur la terminologie ne donne-t-elle pas l'impression que les anglo-saxon ne font pas la difference entre corps commutatif et corps, notamment par le Elle abolit la distinction entre corps commutatif et corps ? De fait, field = corps commutatif, mais skew field, ou division algebra = corps, non ? Ne conviendrait-il pas de reformulé ? Dtcube (d) 5 mai 2008 à 19:39 (CEST)

J'ai reformulé (je n'ai pas précisé comment se dit en anglais un corps non commutatif ici parce que cela a plus sa place dans l'article général sur les corps, mais s'il y unanimité on peut changer). Je crois moi aussi qu'il faudrait remplacer 'théorie de Galois' par 'algèbre et domaines environnants', mais comme je n'ai pas terminé mon petit exercice de dépistage terminologique inédit pour convaincre Jean-LucW, je n'y ai pas touché (pour le moment...

). Amitiés, --Cgolds (d) 5 mai 2008 à 20:25 (CEST)

[modifier] La modif. par Deep silence du § Corps premiers et extensions, est incomplète

C'est bien joli d'avoir réparé un lien - qui (je suppose) n'a plus fonctionné par suite d'autres changements - mais malheureusement c'est la phrase tout entière Cette propriété est démontrée dans le paragraphe sur l'identité de Bézout de l'article anneau euclidien qui n'est plus valable (si elle l'a jamais été). D'abord, il n'y a pas / plus de tel § dans l'article anneau euclidien. Ensuite, le lien corrigé vise maintenant l'article sur l'identité, mais je n'y trouve pas la démonstration prétendue. Quant à l'article sur les a. euclid., il y est bien mentionné incidemment que Z/nZ est un corps si n est premier, mais il manque la réciproque et il n'y a pas là de démonstration.

En l'absence de réactions, je supprimerai complètement la phrase.--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 16 juin 2008 à 14:12 (CEST)

Minute papillon ! La prétendue démonstration existe bien, avec la réciproque. Avant de supprimer un lien qui peut être utile au lecteur, il est sage de regarder un peu comment WP évolue. L'ancre brisée est corrigée. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 16:15 (CEST)

J'ai bien annoncé la suppression seulement au cas où personne ne réagirait ... or ta réaction est venue très vite. Quant à "regarder un peu comment WP évolue" je te ferais remarquer que c'est toi-même qui a rendu vraie la phrase (critiquée par moi ci-dessus) et rendu vrai ce que tu dis ci-dessus (et faux après coup ce que j'ai écrit) en modifiant fortement la phrase, et ça 2 heures après mon lancement de ce § ! Et je parie que je ne t'apprends rien de nouveau (petit malin! :-)) De toute façon, in fine c'est WP qui a gagné, car la nouvelle version est vraiment bonne. --Ulysse (alias UKe-CH) (d) 16 juin 2008 à 16:39 (CEST)

Discuter:Corps fini

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Sommaire

[modifier] Corps à deux éléments

[modifier] Corps commutatif ou non

[modifier] Corps à un élément

[modifier] Existence

[modifier] Réponse D'Ekto-plastor

[modifier] Proposition

[modifier] Explication

[modifier] Clôture algébrique

[modifier] Existence

[modifier] Correspondance de Galois

[modifier] Existence des corps finis

[modifier] En attendant

[modifier] Modif

[modifier] Existence d'un polynôme irréductible de degré n sans utiliser l'existence des corps finis

[modifier] Paragraphe à revoir

[modifier] Corps de Galois et théorie de Galois

[modifier] Réponse de Jean-Luc

[modifier] Opinion de Pmassot

[modifier] Quelques informations

[modifier] Une interrogation

[modifier] Une autre interrogation + une opinion

[modifier] La modif. par Deep silence du § Corps premiers et extensions, est incomplète

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