Discuter:Anneau (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire

[modifier] Classification des anneaux

Il manque la notion d'anneau intégralement clos, ainsi que le lien entre anneau de Dedekind et anneau principal.

[modifier] Erreur de syntaxe?

Dans le premier point de la section "éléments remarquables", on trouve l'extrait suivant :

... x∙a = 0 (resp. a.x=0) ...

Lun des deux points (∙ ou .) n'est pas à la bonne place, mais je ne suis pas qualifié pour savoir lequel...

Quelle acuité visuelle! L'article a été écrit par plusieurs personnes. la première a utilisé le caractère non standart "∙" et les autres ont pris plus simplemet celui du clavier ".". Il faut effectivement uniformiser. HB 18 décembre 2005 à 20:25 (CET) (Uniformisation difficile car l'article accepte aussi la notation ab pour a∙b ou a.b)

[modifier] Structure d'anneau

J ai quelques remarques sur cet article sur la structure d'anneau:

  • Tout d'abord un anneau est un triplet, l'element neutre de la loi + n'est pas a preciser, il est unique de toute facon puisque (A,+) est un groupe.
  • au sens propre me semble de trop, mais c est une remarque stylistique
  • dans le meme style de remarque, je prefere l'utilisation de l'italique au sousligne, mais je m'etais deja longuement illustre pour mon intolerance typographique il y a quelques mois ;-)
  • a proprement parler il n y a pas de mutiplications d'un entier par un element de l'anneau, c'est une notation. C'est donc un abus de langage. Ou alors autant être precis jusque au bout et dire que l'on peut faire agir le groupe additif des entiers relatifs sur le groupe abelien (A,+).


Dtcube


Bon, j'ai beaucoup participé à cet article, donc je réponds:

  • pour le coup du triplet... j'ai longuement hésité, mais c'est pas mal de préciser les éléments singuliers d'un objet... je n'ai pas d'objection à ce que ça saute;
  • on peut aussi faire sauter "au sens propre", ce n'est pas très élégant;
  • en fait, pour les définitions, je crois même que le gras est encore mieux;
  • il y a une multiplication par les entiers... ça donne une structure de \mathbb Z-module... ce n'est pas un abus de langage. Et ce n'est pas une simple action sur le groupe additif, ça se comporte aussi très bien avec la multiplication...


Résumé: à part le dernier point, j'abonde!


Au fait, j'ai "édité" ton commentaire: il y avait plein de lignes blanches, et ça m'empêchait de l'avoir sous les yeux en tapant!


Snark 19:37 jan 28, 2003 (CET)


Pour le gras, c'est justement sur ce point que j'ai longuement donne mon avis qui peut se resumer a : "jamais a l'interieur du texte", d'ou l'italique.

[modifier] Structure de Z module

Pour le dernier point, je suis d'accord pour la structure de Z-module, cependant certes un \mathbb Z-module a un peu plus de propriete, mais la on est pas entrain de decrire la structure de \mathbb Z-module.


Mais ce qui me choc c'est la maniere dont c'est presente: cette operation n'a strictement rien a voir avec la loi multiplicative de l'anneau et la presentation doit le montre sans abiguite.


Pour continuer a pinailer, le tout dernier paragraphe me semble rapide: les morphismes d'anneaux ont ils ete defini ? est il donc clair que le noyau est un ideal principale et qu'un seul element suffit a le definir ?


Enfin une derniere remarque, la notion de projecteur ne me semble pas être defini systematiquement, c'est plutôt de l'algebre lineaire.


Dtcube


C'est quand même utile de bien faire ressortir les notions que l'on définit...


Cette structure de module est très importante, notamment pour de futurs articles sur la cohomologie des groupes (utile pour la cohomologie galoisienne, très utilisée en théorie des nombres): on définit la notion de G-module grâce à ça! Ceci dit, c'est vrai que c'est une opération extérieure à l'anneau.


[modifier] Morphisme d'anneau

Les morphismes d'anneaux ont-ils été définis? Bonne question, mais s'ils ne l'ont pas été, il devrait y avoir un lien vers une page qui en parle. Je me demande même si je n'ai pas plus ou moins défini quelque part la notion de morphismes entre deux espèces de structure...

[modifier] Projecteur

Pour les projecteurs, je crois que c'est utilisé en théorie des catégorie; il doit même y avoir une opération de rajout des projecteurs dans une catégorie qui en manque...


Je vais me pencher là-dessus...


Snark 17:57 jan 29, 2003 (CET)

[modifier] Organisation des propriétés

  • j aurais opter pour la forme des ideaux plutôt que "la liste".
  • La notion d elements reguliers est defini après la notion d'integrite or tu utilises la premiere pour la seconde. D autre part un anneau intere ne doit il pas être unitaire ?
  • notion de principale qu il faudrait probablement ajouter
  • La encore, il y a une difference de point de vue sur ce que doit contenir l'article. Je ne pense pas que cela doivent être des aricles de specialistes. Donc la cohomologie tu m'excuseras, mais je ne pense pas que ce soit la priorite et que tous les articles doivent s'oriente vers une description complete, pour ca, je laisse faire le gp bourbaki.

Dtcube


  • les définitions sur les éléments doivent précéder les définitions sur les anneaux, car les dernières se basent sur les premières. E.g. anneau intègre -> élément régulier.
  • éviter d'utiliser trop de termes inconnus par un lecteur naïf. Moi, lecteur pas si naïf, je ne me souviens déjà pas avoir entendu parler d'"élément régulier". Serait-ce un x tel que x*y = 0 => y = 0 ? Une définition aussi simple devrait être rappelée, au lieu que le lecteur doive aller la chercher ailleurs (et où ?). Wikipedia n'est pas Bourbaki... les articles devraient être aussi "self-contained" que raisonablement possible.

FvdP 19:56 jan 29, 2003 (CET)


  • Oui, il faut réordonner, effectivement c'est dans le désordre.
  • Il manque clairement une partie sur les idéaux (premiers, maximaux, principaux, etc...), l'article est très très très incomplet!
  • Un élément peut être régulier à droite ou à gauche, et on le dit régulier tout court s'il est les deux; la notion est définie dans loi de composition interne; peut-être qu'il faut y renvoyer...
  • Le terme "effacable" existe, mais s'applique à certains foncteurs quand on fait de la cohomologie.


Pour Dtcube en particulier: autant dans les articles de construction il faut éviter de rentrer dans les détails, autant ce genre d'articles est effectivement l'endroit où en dire un peu plus, donner des tonnes d'exemples, quitte à ce que les exemples ne soient pas tous compréhensibles en n'ayant lu que le début de l'article; il faut quand même se garder de redéfinir cent fois la même chose, et ne pas hésiter à renvoyer sur une autre page...

Pour résumer: je suis d'accord avec toi, il faut une description complète ici!

Snark 20:22 jan 29, 2003 (CET)

[modifier] Eléments régulier

Pour ce qui concerne les elements reguliers c est une notion relative au groupe.

Dtcube

Non, la notion d'élément régulier c'est chaque fois que tu as une loi de composition interne avec élément neutre. Donc c'est une notion qui s'applique à (A,*).

Snark 13:48 jan 30, 2003 (CET)

Même pas besoin de neutre. D'après loi de composition interne, r est régulier à gauche (ou à droite, je ne sais plus, pas grave) si pour tout x et y, r*x = r*y implique x = y. Dans un anneau, grâce à la distributivité et à la structure de groupe additif, on peut réduire cette condition à "r*x = 0 implique x = 0". Pour ma part, je préférerais appeler r un "effaçable à gauche"... c'est plus explicite (il y a tellement de machins réguliers dans tous les sens en maths, que le mot "régulier" en soi n'évoque quasiment plus rien) FvdP 21:13 jan 30, 2003 (CET)

Exact... l'élément neutre ne sert pas...c'est même moi qui ait du taper cette partie sur les lois de composition interne... si je ne sais même plus ce que je raconte...

Je ne suis pas d'accord pour l'appeler "effacable" pour deux raisons:

  • "régulier" est le terme utilisé habituellement;
  • "effacable" existe, mais s'applique dans d'autres situations.

Snark 07:48 jan 31, 2003 (CET)

La deuxième raison s'applique tout aussi bien à "régulier"... (Il y a plein d'homonymes en maths, et sûrement que "régulier" en a plus que "effaçable".) Quant à la première, j'avais appris quelque chose comme "effaçable", mais bon, ce n'est pas trop important. FvdP 19:38 fév 4, 2003 (CET)
Je confirme que c'est régulier (et diviseur de zéro) qui sont utilisés!
j'insiste pour qu'on respecte les termes utilisés, le but n'est pas de réinventer! D'ailleurs, sur ces pages, il y a des tas de choses qui ne sont pas racontées ici...
Snark 21:12 fév 4, 2003 (CET)

[modifier] A compléter

Il faut parler des anneaux locaux, de leur dimension, de leurs idéaux, de leur spectre... anneaux noetherien, de valuation discrète... anneaux de Fontaine, anneaux locaux, anneaux factoriels, anneaux euclidiens...

Snark 13:48 fév 28, 2003 (CET)

[modifier] Noyau

Il existe un lien vers Noyau, il serait bon de le préciser car je ne sais pas si faire un lien direct vers Noyau d'un homomorphisme est convenable. Meszigues 11 jun 2003 ・17:14 (CEST)

c'est fait. -- Tarquin

[modifier] Anneau , anneau unitaire

Je me demande si la définition actuelle d'anneau (officielle) n'inclut par, par défaut qu'il soit unitaire. En tout cas, c'est ce qu'on apprend, par exemple en France, en classe prépa. Et puis les anglophones ont l'air d'accord avec moi (cf. en:Ring (mathematics)). Je propose qu'on l'inclut dans la définition, et qu'on fasse une note explicative à ce sujet, et aussi à propos des anneaux associatifs. De toute façon, il faut écrire quelque chose pour soulever cette ambiguitée. Xillimiandus 28 fév 2004 à 11:48 (CET)


Moi, on m'a défini anneau en toute généralité, puis anneau unitaire. Je suis d'accord avec toi sur la définition donnée en prépa, mais les définitions de prépa sont parfois simplificatrices et ne représentent pas forcément la norme. L1 muni de + et de la convolution est un anneau non unitaire. Donc ça se recontre, ces bêtes-là. Moi, je suis tout à fait d'accord avec l'idée d'une note et avec la nécessité de fixer ce point. Mais je ferais le contraire de toi : je laisserais la définition telle que, et je mettrais une note indiquant qu'il y a divers conventions et qu'un anneau est parfois supposé défini comme unitaire.

Infisxc 7 avr 2005 à 23:53 (CEST)

[modifier] Classification

J'ai tenté un inventaire de tous les types d'anneau. Il faudrait vérifier que la classification est correcte et la compléter. Il faut aussi créer des articles détaillés pour chaque type d'anneau qui en vaut le coup... Il y a du travail pour tout le monde HB 28 avr 2005 à 20:40 (CEST)


[modifier] Lien mort

Le lien Un historique des anneaux vers le site de l'université de Cergy-Pontoise n'existe plus !

[modifier] ideal et autres notions

anneau principal

De part sa taille (courte), je pense que la définition d'anneau principal peut etre mise directement dans la partie Idéal plutot que de renvoyer à une petite page (la progression n'est pas facile pour quelqun qui veut se remettre facilement tout en tête: une page qui renvoie à une autre, puis une autre...) alors que "anneau principal" découle directement de la notion d'idéal et à donc tout-à-fait sa place dans la partie Anneaux

Bonjour Ke20, bienvenues sur ces pages concernant les anneaux. Je voyais plutôt cette page comme une page de synthèse renvoyant sur d'autres pages encore à développer. Il y a beaucoup de choses à dire sur les anneaux principaux donc l'article anneau principal merite, à mon avis, non pas de renvoyer sur idéal mais de se développer plus largement . C'est la politique choisie par les Anglais en:Principal ideal domain alors que les Allemand renvoient sur un article, Idéal principal. Donc tu as le choix. (mes autres commentaires apparaitront indentés de rang 1 non signés par la suite) HB 20 février 2007 à 12:42 (CET)


quelques points qui me paraissent nécessaire et qui ne sont pas présent:

- homomorphisme d'anneau

oui

- la notion de centre d'un anneau

oui

- quelques propriétés pour les idéaux: par exple:

  • le fait que le noyau d'un homomorphisme d'anneau soit un ideal
  • un corps K ne possède que 2 ideaux {0} et K
  • I ideal de A tel que 1∈I ⇒ I=A (et conséquence: x∈I, x inversible ⇒ I=A)
  • ...
Non : pas dans cet article mais dans l'article idéal

- quelques définitions: ideaux premiers, propres, monogènes, semi-local

Non: pas dans cet article mais dans l'article Idéal

- ANNEAUX QUOTIENT (et là il y a beaucoup à dire)

Quel oubli, c'est vrai ! Mais il faudrait mettre ici seulement une introduction et aller enrichir l'article Anneau quotient

je veux bien aider à completer certain passage mais comme tout ceci n'est qu'un avis personnel, j'attend de savoir ce que vous en penser.

Fais-donc. Fais-donc. Personnellement, je trouve que la théorie des anneaux est tellement vaste qu'elle ne peut pas se limiter à un seul article d'où l'idée d'un article très synthétique ici avec renvoi sur des articles détaillés ou à détailler

[modifier] anneau factoriel

dans Anneaux remarquables -> Anneau factoriel

on définit un anneaux factoriel et on dit que "pour tout a de A, il existe un élément u et n éléments irréductibles p1,p2,...,pn tels que a = up1p2...pn. Cette décomposition est unique à l'ordre près et à l'élément unitaire près ."

la definition d'élément unitaire n'est pas mise

par élément unitaire, parle-t-on de u? ce n'est pas très clair, de plus il me semble que la notion d' element inversible serait plus simple:

je propose que l'on mette: "il existe un élément u inversible, et n element irréductible..."

Lapsus à corriger évidemment , merci: on parle d'éléments unités ou inversibles mais pas d'éléments unitaires
ou unités. Ekto - Plastor 21 février 2007 à 20:10 (CET)

[modifier] Mes modifications dans le § Sous-anneau

Fermeture au lieu de clôture (intégrale) -> cf. ma modification similaire dans Entier algébrique, que j'ai commentée dans la page de disc' associée.

Par ailleurs, "factoriel et intègre" est un pléonasme (par déf. factoriel => intègre); j'ai simplifié une affirmation en conséquence.--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 19 janvier 2008 à 00:15 (CET)

[modifier] Anneau Z/pZ dans le § "Exemples"

La modification qui vient d'être faite est une nette amélioration. Mais la nouvelle version du passage ne me satisfait pas encore. D'un point de vue formel, l'anneau Z/pZ est formé d'éléments dont chacun est un "ensemble des entiers congruents modulo (un nombre entier donné) p" (à un autre entier donné a, ce qui définit la classe modulo p de a), c'est donc un ensemble de tels ensembles. En fait, dans le texte de l'article, ce complément après l'expression citée (auquel on s'attend presque mais qui ne vient pas) est absent, mais je me demande si ça suffit pour qu'on comprenne de quoi il s'agit. L'énoncé correct est malheureusement difficile pour un 'débutant' (qui devrait pouvoir comprendre le passage, je suppose), et si on utilise la notion "classe d'équivalence" (qui permettrait une formulation claire et simple) on introduit une barrière encore plus grande pour qui ne la connait pas - même si on ajoutait un lien wiki ... quelqu'un a-t-il une idée?--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 29 février 2008 à 07:59 (CET)

Dire par exemple que chaque entier est "représenté" par son reste dans la division par p ainsi l'anneau Z/pZ peut être vu comme l'ensemble {0,1,2, ... ,p-1} muni de deux lois +: (a,b) → reste de a+b dans la division par p, et x: (a,b) → reste de a x b dans la division par p. On n'est pas obligé de voir Z/pZ comme un ensemble d'ensembles même si c'est aussi le cas. Mais est-ce le lieu pour s'étendre sur cette notion? L'article anneau doit rester très généraliste. HB (d) 29 février 2008 à 09:54 (CET)

La présentation de Z/pZ suivant l'idée d'Ulysse est présente dans congruence sur les entiers. Le coût d'entrée dans l'arithmétique est ainsi plus faible. Il existe de nombreux exemple d'applications de ces méthodes dans WP : Petit théorème de Fermat, Démonstrations du dernier théorème de Fermat pour n = 4, Théorème de Wilson, Théorème des deux carrés, nombre de Fermat, identité de Bézout ... L'idée est de montrer comment l'approche simple permet de résoudre de nombreuses situations et en quoi l'approche modulaire simplifie les démonstrations, au prix d'une abstraction plus grande. Jean-Luc W (d) 29 février 2008 à 11:07 (CET)