Équation de Mason-Weaver

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L'équation de Mason-Weaver est une équation décrivant la sédimentation et la diffusion de solutés sous l'action d'une force uniforme, typiquement un champ de pesanteur^[1].

Sommaire

1 Expression mathématique
2 Obtention de l'équation de Mason-Weaver
3 L'équation de Mason-Weaver sans dimension
4 Solution de l'équation de Mason-Weaver
5 Notes et références
- 5.1 Références
- 5.2 Notes
6 Articles connexes

[modifier] Expression mathématique

Figure 1: schéma d'une cellule de Mason-Weaver dans un système d'axes cartésiens et forces s'appliquant au soluté.

En supposant que la pesanteur est un champ orienté dans la direction z (Fig. 1), l'équation de Mason-Weaver peut s'écrire

$\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^{2}c}{\partial z^{2}} + sg \frac{\partial c}{\partial z}$

où t est le temps, c est la concentration linéaire du soluté (moles par unité de longueur dans la direction z) et les paramètres D, s et g représentent respectivement le coefficient de diffusion du soluté, le coefficient de sédimentation et l'accélération de la pesanteur (supposée constante).

L'équation de Mason-Weaver est complétée par des conditions aux limites. Si la cellule est supposée rectangulaire et aligné sur un syustème de coordonnées cartésiennes (Figure 1) on a

$D \frac{\partial c}{\partial z} + s g c = 0$

au sommet et au fond de la cellule notée respectivement $z a$ and $z b$ (Fig. 1). Ces conditions aux limites correspondent au fait que physiquement il est impossible à un soluté de passer à travers les parois de la cellule et que le flux doit donc y être nul. De même le flux sur les parois latérales doit être nul. En conséquence la quantité totale de solutés contenus dans la cellule

$N_{tot} = \int_{z_{b}}^{z_{a}} dz \ c(z, t)$

est conservée, i.e. $d N t o t / d t = 0$ .

[modifier] Obtention de l'équation de Mason-Weaver

Une particule de masse m se déplaçant à la vitesse verticale v est soumise à trois force (physique)s (Fig. 1) : la force de traînée $f v$ , son poids $m g$ et la poussée d'Archimède $ρ V g$ , où g est l'accélération de la pesanteur, V est le volume de la particule de soluté et $ρ$ est la masse volumique du solvant. À l'équilibre mécanique (typiquement atteint en 10 ns pour des solutés moléculaires), les particules atteignent une vitesse limite $v t e r m$ pour laquelle les trois forcent se compensent.

Étant donné que le volume V est égal à la masse m de la particule multipliée par son volume massique $\bar{\nu}$ , la condition d'équilibre mécanique peut être écrite

$f v_{term} = m (1 - \bar{\nu} \rho) g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ m_{b} g$

où $m b$ est la masse apparente du soluté compte tenu de la poussée d'Archimède.

On peut définir le coefficient de sédimentation de Mason-Weaver $s \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ m_{b} / f = v_{term}/g$ . Comme le coefficient de traînée f est reliée au coefficient de diffusion D par la relation d'Einstein

$D = \frac{k_{B} T}{f}$ ,

la rapport s sur D est égal à

$\frac{s}{D} = \frac{m_{b}}{k_{B} T}$

où $k B$ est la constante de Boltzmann et T est la température temperature en kelvin.

Le flux J en un point quelconque est donné par

$J = -D \frac{\partial c}{\partial z} - v_{term} c = -D \frac{\partial c}{\partial z} - s g c$

le premier terme décrit le flux dû à la diffusion de la matière sous l'effet d'un gradient de concentration, tandis que le second terme décrit le flux convectif dû à la vitesse moyenne $v t e r m$ des particules. Un flux net positif en dehors d'un petit volume produit une diminution locale de la concentration dans ce volume :

$\frac{\partial c}{\partial t} = -\frac{\partial J}{\partial z}$

En remplaçant J par son expression dans l'équation précédente on obtient l'équation de Mason-Weaver

$\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^{2}c}{\partial z^{2}} + sg \frac{\partial c}{\partial z}$

[modifier] L'équation de Mason-Weaver sans dimension

Les paramètres D, s et g déterminent une longueur caractéristique $z 0$

$z_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{D}{sg}$

et un temps caractéristique $t 0$

$t_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{D}{s^{2}g^{2}}$

En définissant les grandeurs sans dimension $\zeta \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ z/z_{0}$ et $\tau \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ t/t_{0}$ , l'équation de Mason-Weaver devient :

$\frac{\partial c}{\partial \tau} = \frac{\partial^{2} c}{\partial \zeta^{2}} + \frac{\partial c}{\partial \zeta}$

soumise aux conditions aux limites

$\frac{\partial c}{\partial \zeta} + c = 0$

au sommet et au fond de la cellule, respectivement $ζ a$ et $ζ b$ .

[modifier] Solution de l'équation de Mason-Weaver

Cette équation peut être résolue par une méthode de séparation des variables. En posant $c(\zeta,\tau) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{-\zeta/2} T(\tau) P(\zeta)$ , on obtient deux équations couplées par une constante $β$

$\frac{\partial T}{\partial \tau} + \beta T = 0$

$\frac{\partial^{2} P}{\partial \zeta^{2}} + \left[ \beta - \frac{1}{4} \right] P = 0$

où les valeurs possibles de $β$ sont définies par les conditions aux limites

$\frac{dP}{d\zeta} + \frac{1}{2} P = 0$

aux frontières supérieure et inférieure $ζ a$ et $ζ b$ respectivement. Puisque l'équation en T admet les solutions $T (τ) = T 0 e - βτ$ où $T 0$ est une constante la résolution de l'équation de Mason-Weaver se réduit à trouver la fonction $P (ζ)$ .