Équation d'état

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En thermodynamique, l'équation d'état d'un système physique est le nom donné à l'équation qui relie l'ensemble des grandeurs physiques qui décrivent l'état de ce système (les variables d'état), comme sa température, sa pression et son volume dans le cas d'un gaz. L'équation d'état est caractéristique d'un système donné : deux gaz différents n'ont par exemple pas nécessairement la même équation d'état. À partir de l'équation d'état d'un système physique, il est possible de déterminer la totalité des quantités thermodynamiques décrivant ce système et par suite prédire ses propriétés. En particulier, l'équation d'état permet en principe de prédire un changement d'état du système, c'est-à-dire une transition de phase.

Sommaire

[modifier] Exemple d'un fluide

Comme exemple le plus simple, considérons un fluide (gaz ou liquide) en équilibre thermodynamique. On utilise couramment quatre variables d'état :

En toute généralité, la thermodynamique indique que les variables les plus naturelles devraient être l'énergie interne U, l'entropie S, le volume V et le nombre de particules N. Une fois la relation entre ces quatre variables connue, il est toujours possible de calculer les dérivées partielles de l'énergie interne par rapport à l'entropie et le volume pour en déduire la température et la pression, ce qui permet de réexprimer, au moins localement, l'équation d'état en terme de p, V, T et N.

Dans certaines situations, il est possible de considérer une variable d'état en moins, soit parce le nombre de particules est fixé, auquel cas N n'est plus une quantité variable, soit parce que toutes les quantités étant extensives, on peut considérer les densités associées, à savoir la densité d'énergie interne ε = U / V, la densité d'entropie s = S / V et la densité de particule n = N / V.

[modifier] Cas général

L'expérience montre qu'un état d'équilibre du fluide est entièrement caractérisé par la donnée de seulement trois variables d'état indépendantes, par exemple (P,V,T), ce qui implique qu'il existe une relation entre la pression p, la température T et le volume V qui peut se mettre sous la forme :

f(p,V,T,N) = 0.

f est une fonction, qui dépend a priori de la nature du fluide.

[modifier] Quelques exemples d'équations d'état

[modifier] Gaz parfait à l'équilibre thermodynamique global

pV = NkBT,

kB étant la constante de Boltzmann. L'équation peut bien sûr être exprimée en terme de la densité n de particules :

p = nkBT.

[modifier] Gaz parfait à l'équilibre thermodynamique local

En pratique rien n'assure que la matière considéré a une pression, une température et une densité uniformes. Il est donc souvent pertinent d'écrire l'équation d'état en un point x donné:

p({\mathbf x}) = n({\mathbf x}) k_B T({\mathbf x}).

[modifier] Polytrope

Un polytrope est défini par le fait que son équation d'état ne dépend par explicitement de sa température, par exemple, s'il est dans une configuration d'équilibre thermique, sa température est une constante et l'équation d'état n'en dépend plus explicitement. L'équation d'état d'un polytrope s'écrit

P = κργ,

κ étant une constante, ainsi que γ, qui est appelé indice adiabatique. Il est commode de définir l'indice polytropique n par la relation γ 1 + 1/n.

[modifier] Équation d'état de van der Waals

L'équation d'état des gaz parfait ne permet pas de rendre compte de certaines propriétés cruciales, en particulier le fait qu'un fluide puisse exister à l'état liquide et et à l'état gazeux. Des équations d'état plus sophistiquées permettent de rendre compte de cette possibilité d'exister dans plusiers états. La plus simple équation d'état le permettant et appelée équation d'état de van der Waals. Elle s'écrit :

\left(p + \frac{N^2 a}{V^2} \right)(V - N b ) = N k_{\rm B} T  \,

Cette équation permet d'expliquer l'existence de deux état différents pour le fluide, ainsi que le fait qu'au delà d'une certaine température et d'une certain pression, il n'est plus possible de distinguer un liquide d'un gaz.

[modifier] Gaz de photons

Si l'on considère un gaz de photons à l'équilibre thermodynamique, ceux-ci obéissent à une équation d'état très simple, à savoir :

P = \frac{1}{3} \frac{U}{V} = \frac{\pi^2}{45} \frac{(k_{\rm B} T)^4}{(\hbar c)^3},

la densité de photons étant elle-même fixée par la relation

n = \frac{2 \zeta(3)}{\pi^2} \left(\frac{k_{\rm B} T}{\hbar c} \right)^3,

\hbar est la constante de Planck réduite, c la vitesse de la lumière et ζ la fonction zêta de Riemann (ζ(3) vallant approximativement 1,202).

[modifier] Équation d'état du paramagnétisme

Dans un domaine complètement différent, celui du paramagnétisme, il est possible de décrire les variables d'état d'un cristal paramagnétique soumis à un champ magnétique extérieur. Cette fois, les variables d'état sont : outre le nombre de particules N, la température T, et le volume V, on a l'aimantation moyenne M, et l'intensité du champ magnétique. On montre que l'équation d'état s'écrit

M = N \frac{g \mu_{\rm B}}{2 V} \tanh \frac{g \mu_{\rm B} B}{2 k_{\rm B} T},

où les quantité g et μB sont le facteur de Landé et le magnéton de Bohr.

[modifier] Autres

Dans le domaine de la physique des trous noirs, l'ensemble des paramètre macroscopique qui décrivent un trou noir (masse, charge électrique, moment cinétique) permettent de déterminer sa surface (plus précisément la surface de son horizon). Cette relation s'avère présenter des similarités extrêmement frappantes avec une équation d'état en thermodynamique, pourvu que l'on assimile la masse à l'énergie interne et la surface à l'entropie. Cette analogie extrêmement profonde a donné naissance à la thermodynamique des trous noirs.

[modifier] Articles connexes