Utilisateur:Mm/Brouillon électrostat

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POTENTIEL ÉLECTRIQUE


En électrostatique, le champ électrique est donné par la formule suivante :


\vec{E} = \frac{1}{(4 \pi \epsilon_o)}\int \frac{\rho \vec{r}}{  r^3} dV

où ρ est la densité de charge, runit est le vecteur unitaire allant de dV, calculé au point de l'espace E, et r est la distance du point E, jusqu'au au point de charge où elle est calculée.

Cette fonction est utile, particulièrement si on veut calculer E comme fonction de la position. Il existe cependant, dans le cadre de l'électrostatique, une fonction scalaire V, appelée le potentiel électrique, qui vérifie

\vec E = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} E .

Le potentiel s'exprime en fonction du champ :

V = - \int \vec{E} \cdot \vec{d\vec{s}}

V est le potentiel électrique, et l est le déplacement élémentaire.

Cette expression a un inconvénient. Pour que ce potentiel existe et puisse être défnini par son expression en fonction du champ, il faut que le rotationnel \nabla \wedge \mathbf{E} du champ soit nul. Les équations de Maxwell montrent que cette condition est vérifiée lorsque le champ magnétique est constant.

D'après la définition de la charge, le potentiel électrique d'une charge ponctuelle, comme fonction de sa position est :


V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{\left| \vec{r} - \vec{r}_q \right|)}

q est la charge ponctuelle, Erreur math (erreur lexicale): \vec r</vec> la position où l'on calcule le potentiel, et <math>\vec r_q

la position de la charge. On en déduit le potentiel créé par une distribution de charges 

V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \iiint \frac{\rho}{\left| \vec{r} - \vec{r}_q \right|)} dV

Erreur math (erreur lexicale): \rho</rho> est la densité de charge en fonction de la position, et <math>\vec r

la position de l'élément de volume dV.

Il faut remarquer que le potentiel est une grandeur scalaire. Par linéarité, il peut s'additionner aux autres champs de potentiel, et la somme est une somme scalaire. Cela permet de séparer assez facilement des problèmes complexes en parties plus simples, pour calculer les potentiels séparément et les additionner.

On obtient le champ électrique à partir du potentiel en écrivant « à l'envers » la défintion de ce dernier :


\mathbf{E} = -\nabla \phi




ANALYSE VECTORIELLE

[modifier] Quelques formules

Cette section, provisoire, vise à regrouper ici des formules que l'on trouve sans explication sur un certain nombre de pages, avant de leur en fournir une...

  \iint_{S} \overrightarrow \mathrm{rot} \; \vec{v} \cdot d\vec{S} = \int\vec{v} \cdot d \vec{r}